座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が原点$(0,\ 0)$を出発して，$1$枚の硬貨を投げて表が出たら$x$軸方向の正の向きに$1$だけ進み，裏が出たら$y$軸方向の正の向きに$1$だけ進むとき，次の問いに答えよ．

(1)硬貨を$4$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率を求めよ．
(2)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．
(3)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$を通らずに，点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2$と放物線$C_2:y=-(x-a)^2+b$が点$\mathrm{P}(t,\ t^2) (t>0)$において接している．

(1)$a$と$b$を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C_2$と$x$軸との交点のうち，$x$座標の小さい点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．$C_1$と$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$は$t$に無関係な値であることを示せ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 3)$，点$\mathrm{P}(4,\ 0,\ -1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．

次の問いに答えなさい．

$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．

(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．

次の各問に答えよ．ただし，$(2)$は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ．
(2)$2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$，$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1a_2<0$とする．

(i) 放物線$C_1$，$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき，$m$を求めよ．
(ii) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i (i=1,\ 2)$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(iii) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i,\ b_i (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ．

放物線$y=x^2+ax-1$と直線$y=x+b$について，次の問いに答えよ．

(1)放物線と直線が$2$つの交点を持つための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$2$つの交点の距離が$1$となるための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$2$つの交点を結んだ線分の中点がちょうど原点となるときの$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．

原点$\mathrm{O}$，半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．また，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}$であるような定数$\alpha$に対し，$\angle \mathrm{POQ}=\alpha$，$\angle \mathrm{QOR}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{POR}=3 \alpha$が成り立っているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{PQRO}$の面積$S$を，$\alpha$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さ$l$を，$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$であるとき，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{OQ}$がなす角$\beta$に対し，$\sin \beta$の値を求めよ．

座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$，$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．

座標空間内の球面$x^2+y^2+z^2=9$上に$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 2)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に

放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$

がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．