$f(x)=(x+a)e^{-x} (a \neq 0)$とする．曲線$y=f(x)$が原点を通る接線をただ$1$つもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$のとき，この曲線と$y$軸およびこの曲線の変曲点を通る接線とで囲まれる部分の面積を求めよ．

$m$を定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$と直線$y=mx+4$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．

(1)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[アイ] m}{[ウ]+m^2},\ \alpha\beta=\frac{[エオ]}{[ウ]+m^2}$である．
(2)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{[カ] \sqrt{m^2-[キ]}}{\sqrt{[ク]+m^2}}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$のとき，$m=\pm \sqrt{[ケ]}$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[コ] \sqrt{[サ]}$である．

座標平面上の定点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$，$\mathrm{D}(3,\ 3)$と動点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から出発する．表の出る確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$，裏の出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$のコインを投げ，そのたびに，表が出れば$x$軸の正方向に$1$，裏が出れば$y$軸の正方向に$1$だけ進む．コインを$6$回投げるとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の両方を通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の少なくとも$1$つを通過して$\mathrm{D}$に達する確率を求めなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$をとる．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円$C$を考える．$C$上の点で，第$1$象限にある点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{POA}=\theta$とする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$がある．直線$\ell$は辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}(0,\ t) (0 \leqq t \leqq 2)$を通り，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$2$等分しているとする．直線$\ell$と$\triangle \mathrm{OAB}$の辺の$2$つの交点のうち，点$\mathrm{P}$でない方の点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq t \leqq 1$のとき，点$\mathrm{R}$の座標$(x,\ y)$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$のとき，$x$のとる値の範囲を求めよ．また，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$1 \leqq t \leqq 2$のとき，点$\mathrm{R}$の座標$(x,\ y)$を$t$を用いて表せ．
(4)$(3)$のとき，$x$のとる値の範囲を求めよ．また，$y$を$x$の式で表せ．
(5)$(2)$で求めた$x$の式を$f(x)$，$(4)$で求めた$x$の式を$g(x)$とする．$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，次の極方程式で表される$2$つの曲線を考える．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．

原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=2+2 \log x$に接する直線を$\ell$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．また，この曲線と直線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．

次の$[　]$に答えを記入せよ．

(1)$2$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が整数になる確率は$[ア]$である．また，$3$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が$1$になる確率は$[イ]$である．
(2)座標平面で直線$y=3x$についての対称移動を$f$，原点を中心とした${60}^\circ$の回転移動を$g$とする．点$\mathrm{P}(2,\ -1)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の$g$による像を点$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ウ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[エ]$である．

$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\mathrm{G}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし，$\alpha$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ．

原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円$C$がある．円$C$上の$1$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$a_i>0$，$i=1,\ 2$を考える．$\mathrm{OA}$が$x$軸となす角度を$\theta$とする．

(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$，$b_i>0$，$i=1,\ 2$，半径$1$の円とし，点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると，$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である．また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である．
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき，
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり，これらを小さい順に並べて，$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり，$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく．