「原点」について
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私立 慶應義塾大学 2014年 第4問座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 3,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{P}(t,\ t,\ t)$をとる．ただし$t$は実数である．以下の問いに答えなさい．
(1)$t \neq 0$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が直交するような$t$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$が最小となるような$t$の値を求めなさい．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{P}$が$1$つの平面に含まれるような$t$の値を求めなさい．
(1)$t \neq 0$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が直交するような$t$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$が最小となるような$t$の値を求めなさい．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{P}$が$1$つの平面に含まれるような$t$の値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について考える．
四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t (0<t<3)$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t \leqq 1$のとき$f(t)=[ソ]$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$[タ]$となり，$f(t)=[チ]$となる．
次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2 (0<t<1)$の間にはさまれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^\prime(t)=[ツ]$であり，$g(t)$は$t=[テ]$のとき最大値をとる．
四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t (0<t<3)$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t \leqq 1$のとき$f(t)=[ソ]$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$[タ]$となり，$f(t)=[チ]$となる．
次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2 (0<t<1)$の間にはさまれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^\prime(t)=[ツ]$であり，$g(t)$は$t=[テ]$のとき最大値をとる．
私立 自治医科大学 2014年 第11問円$x^2+y^2=2$と直線$y=2x+k$は相異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする（$\mathrm{O}$は原点）．$S$が最大となるときの$k$の値を$M$としたとき，$M^2$の値を求めよ．
私立 甲南大学 2014年 第2問座標空間に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 0)$，点$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 0)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
私立 愛知学院大学 2014年 第2問座標$(2,\ 0)$の点を$\mathrm{A}$，曲線$y=2x^2-4x+4$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．またこの曲線上の$1$点を$\mathrm{P}$としたとき，$\triangle \mathrm{BOP}$と$\triangle \mathrm{POA}$の面積が等しくなる．このとき$\mathrm{P}$の座標をすべて求めなさい．
私立 甲南大学 2014年 第2問座標空間に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 0)$，点$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 0)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2014年 第5問次の問いに答えよ．
(1)軸が直線$x=2$で，$2$点$(4,\ 1)$，$(3,\ 7)$を通る放物線$C_1$の方程式を求めると$[シ]$である．また，点$(4,\ 1)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めると$[ス]$である．
(2)放物線$C_1$を原点に関して対称移動して得られる放物線$C_2$の方程式を求めると$[セ]$である．
(3)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた部分の面積を求めると$[ソ]$である．
(4)放物線$C_2$を$y$軸方向に平行移動すると，放物線$C_1$と$1$点で接した．平行移動して得られた放物線の方程式は$[タ]$である．
(1)軸が直線$x=2$で，$2$点$(4,\ 1)$，$(3,\ 7)$を通る放物線$C_1$の方程式を求めると$[シ]$である．また，点$(4,\ 1)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めると$[ス]$である．
(2)放物線$C_1$を原点に関して対称移動して得られる放物線$C_2$の方程式を求めると$[セ]$である．
(3)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた部分の面積を求めると$[ソ]$である．
(4)放物線$C_2$を$y$軸方向に平行移動すると，放物線$C_1$と$1$点で接した．平行移動して得られた放物線の方程式は$[タ]$である．
私立 近畿大学 2014年 第3問$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
私立 福岡大学 2014年 第2問$a>0$とする．点$\mathrm{A}(a,\ a)$と直線$y=3x$との距離を$a$を用いて表すと$[ ]$である．また，点$\mathrm{A}$を中心とし原点$\mathrm{O}$を通る円と直線$y=3x$との原点以外の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{OP}=\sqrt{5}$ならば，$a=[ ]$である．
私立 福岡大学 2014年 第5問$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ y,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ \sqrt{5})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$y>0$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき$y$の値を求めると$y=[ ]$である．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を成分で表すと$[ ]$である．