「原点」について
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国立 東京海洋大学 2014年 第3問座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ p,\ 0)$，$\mathrm{Q}(q,\ -q,\ 0)$が$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$をみたしている．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第5問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-3x+6$があり，$C$上の点で$x$座標が$t$と$2t$であるものをそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし$t>0$とする．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．
(2)$t=t_0$のとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{2}x^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
(3)$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．
(2)$t=t_0$のとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{2}x^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
(3)$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
国立 鳥取大学 2014年 第4問$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面内の楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$を媒介変数表示により$\mathrm{P}(a \cos t,\ b \sin t) (0 \leqq t<2\pi)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．
国立 東京農工大学 2014年 第1問$r,\ s$は実数で，$r>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(r,\ r,\ r)$がある．さらに，点$\mathrm{E}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \]
で定まる点とする．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき，$s$を$r$の式で表せ．
(3)$(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし，さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \]
で定まる点とする．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき，$s$を$r$の式で表せ．
(3)$(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし，さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2014年 第2問$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 3 \\
a & b
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & -a
\end{array} \right)$が
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
10 & 5 \\
5 & 0
\end{array} \right) \]
を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．ただし答えのみでよい．
(2)$m,\ n$は実数で，$m \neq 0$，$n \neq 0$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{S}_1(m,\ 0)$，$\mathrm{S}_2(0,\ n)$をとり，行列$A$が表す$1$次変換によって$S_1$，$S_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$とする．$2$点${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$を通る直線が$2$点$\mathrm{S}_1$，$\mathrm{S}_2$を通る直線に一致するとき，$n$を$m$の式で表せ．
(3)$2$点$\mathrm{T}_1(-7,\ 0)$，$\mathrm{T}_2(0,\ 7)$を通る直線を$\ell$とする．行列$B$が表す$1$次変換によって$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$とし，$2$点${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$を通る直線を$\ell^\prime$とする．原点を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わり，かつ$C$と$\ell^\prime$も異なる$2$点で交わるとする．このような$r$の値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$において，円$C$が$\ell$を切り取る線分の長さを$L$とし，円$C$が$\ell^\prime$を切り取る線分の長さを$L^\prime$とする．このような$L,\ L^\prime$の中で，$L$が最も小さい自然数になるときの$L^\prime$の値を求めよ．
4 & 3 \\
a & b
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & -a
\end{array} \right)$が
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
10 & 5 \\
5 & 0
\end{array} \right) \]
を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．ただし答えのみでよい．
(2)$m,\ n$は実数で，$m \neq 0$，$n \neq 0$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{S}_1(m,\ 0)$，$\mathrm{S}_2(0,\ n)$をとり，行列$A$が表す$1$次変換によって$S_1$，$S_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$とする．$2$点${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$を通る直線が$2$点$\mathrm{S}_1$，$\mathrm{S}_2$を通る直線に一致するとき，$n$を$m$の式で表せ．
(3)$2$点$\mathrm{T}_1(-7,\ 0)$，$\mathrm{T}_2(0,\ 7)$を通る直線を$\ell$とする．行列$B$が表す$1$次変換によって$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$とし，$2$点${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$を通る直線を$\ell^\prime$とする．原点を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わり，かつ$C$と$\ell^\prime$も異なる$2$点で交わるとする．このような$r$の値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$において，円$C$が$\ell$を切り取る線分の長さを$L$とし，円$C$が$\ell^\prime$を切り取る線分の長さを$L^\prime$とする．このような$L,\ L^\prime$の中で，$L$が最も小さい自然数になるときの$L^\prime$の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2014年 第3問$e$は自然対数の底とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$3$点
\[ \mathrm{A}(e^{-\theta}+\sqrt{3},\ e^{-\theta}),\quad \mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{C}(\sqrt{3},\ 0) \]
がある．ただし，$\theta \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする．$F(\theta)$を求めよ．
(2)$F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする．区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$n$を自然数とする．区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値，最小値をそれぞれ$\alpha_n$，$\beta_n$とする．$\alpha_n$，$\beta_n$を求めよ．また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\alpha_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく．$S$の値を求めよ．
\[ \mathrm{A}(e^{-\theta}+\sqrt{3},\ e^{-\theta}),\quad \mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{C}(\sqrt{3},\ 0) \]
がある．ただし，$\theta \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする．$F(\theta)$を求めよ．
(2)$F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする．区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$n$を自然数とする．区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値，最小値をそれぞれ$\alpha_n$，$\beta_n$とする．$\alpha_n$，$\beta_n$を求めよ．また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\alpha_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく．$S$の値を求めよ．