「原点」について
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国立 大分大学 2014年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 大分大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 大分大学 2014年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 富山大学 2014年 第2問点$\mathrm{P}_0$を$xy$平面の原点とし，点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 0)$とする．点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\cdots$を次のように定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n-1}$を中心として点$\mathrm{P}_n$を反時計回りに$\theta (0<\theta<\pi)$だけ回転させた点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{P}_{n+1}$を$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \cos k \theta=\frac{1}{2} \left\{ -\sin \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)+\sin \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \sin k \theta=\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)-\cos \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
が成り立つことを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
$\displaystyle 1+\cos \theta+\cdots +\cos n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ \sin \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\sin \frac{\theta}{2} \right\}$
$\displaystyle \sin \theta+\cdots +\sin n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ -\cos \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\cos \frac{\theta}{2} \right\}$
が成り立つことを示せ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とおくとき，$x_n$および$y_n$を求めよ．
(4)すべての点$\mathrm{P}_n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を通る円の方程式を求めよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \cos k \theta=\frac{1}{2} \left\{ -\sin \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)+\sin \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \sin k \theta=\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)-\cos \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$
が成り立つことを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
$\displaystyle 1+\cos \theta+\cdots +\cos n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ \sin \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\sin \frac{\theta}{2} \right\}$
$\displaystyle \sin \theta+\cdots +\sin n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ -\cos \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\cos \frac{\theta}{2} \right\}$
が成り立つことを示せ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とおくとき，$x_n$および$y_n$を求めよ．
(4)すべての点$\mathrm{P}_n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を通る円の方程式を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする．$\mathrm{O}$を原点として，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
国立 香川大学 2014年 第4問曲線$C_1:y=x^3-2x^2$，$C_2:y=x^2+ax+1$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．