座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{H}^\prime$とする．$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{PH}$の長さ，および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

実数$a,\ b,\ c,\ d,\ e$に対して，座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(c,\ d)$，$\mathrm{C}(e,\ 0)$をとる．ただし点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$はどちらも原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とは異なる点とする．このとき，実数$s,\ t$で
\[ s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすものが存在するための，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$についての必要十分条件を求めよ．

点$\mathrm{P}(t,\ s)$が$s=\sqrt{2}t^2-2t$を満たしながら$xy$平面上を動くときに，点$\mathrm{P}$を原点を中心として$45^\circ$回転した点$\mathrm{Q}$の軌跡として得られる曲線を$C$とする．さらに，曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$y=a$と曲線$C$がただ$1$つの共有点を持つような定数$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=x \sin x+\cos x-1 (0<x<\pi)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし$\displaystyle 3<\pi<\frac{16}{5}$であることは証明なしで用いてよい．

(1)曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ．
(2)曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする．$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ．
(3)曲線$C$，$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする．また，$xy$平面の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする．$S<T$であることを示せ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{1}{2}x$とする．曲線$C:y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$，$\mathrm{Q}(-t,\ f(-t))$ $(t>0)$をとり，点$\mathrm{P}$における接線と法線，および，点$\mathrm{Q}$における接線と法線によって囲まれる図形を$A$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$，法線を$\ell_2$とし，原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$，$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1,\ d_2$とおく．$d_1,\ d_2$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$d_1,\ d_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．

$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．

$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．

最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）

$a$を正の実数とする．$xy$平面上の曲線$C:y=e^{ax}$の接線で，原点を通るものを$\ell$とし，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた領域を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$を$x$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V_1$を求めよ．
(2)$S$を$y$軸の周りに回転して得られる立体の体積$V_2$を求めよ．
(3)$V_1=V_2$となるときの$a$の値を求めよ．

座標平面において，$C:y=e^{-x} (x>0)$上の点$(a,\ e^{-a})$の接線を$L$とおき，$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とし，$y$軸，$L$，$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．

(1)$S_1,\ S_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$a>0$のとき，$(a-1)e^a+1>0$であることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a$の関数とみたとき，区間$(0,\ \infty)$で単調に増加することを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos 2t,\ \sin 2t,\ \cos t)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は平行でないことを示せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S(t)$は$t$の値に関係なく一定であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角$\theta(t)$のとる値の範囲を求めよ．