$k$を正の定数とする．放物線$y=-x^2-2x+3 \cdots\cdots①$と直線$y=k \cdots\cdots②$について，次の各問に答えよ．

(1)放物線$①$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)放物線$①$と直線$②$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっているとき，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結んでできる$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．

$xy$平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$がある．ただし，点$\mathrm{O}$は原点，点$\mathrm{A}$の座標は$(5,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の$y$座標は正であり，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$であるとする．さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の外側に，辺$\mathrm{AB}$を共有する正方形$\mathrm{ABCD}$がある．

(1)$\theta$を用いて表すと，$\mathrm{B}$の座標は$[ア]$であり，$\mathrm{C}$の座標は$[イ]$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\theta=[ウ]$のとき最大値をとり，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\theta=[エ]$のとき最大値をとる．
以下では，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるとする．
(3)$\mathrm{AB}=[オ]$である．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の半径は$[カ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAD}$の外接円の半径を求めよ．

座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．

(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．

(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の定積分を求めなさい．ただし，$a$は正の定数とする．
\[ 1) \quad \int_0^a te^{-t} \, dt \qquad\qquad 2) \quad \int_0^a t^2 e^{-t} \, dt \]
(2)以下の空欄$[$1$]$～$[$5$]$に適切な値を答えなさい．

$x \geqq 0$で定義された関数$f(x)=(\sqrt{x}-1)e^{-\sqrt{x}}$に対して，$y=f(x)$の表す曲線を$C$とおく．$C$は$x=[$1$]$で極大値$[$2$]$をとる．$C$上の点$(t,\ f(t))$での接線が原点を通るのは$t=[$3$]$のときである．このときの接線を$\ell$とおくと，$\ell$の傾きは$[$4$]$となる．また，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

$y=x^3-2x$の表す曲線$C$がある．

(1)$\alpha \neq 0$のとき，$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^3-2 \alpha)$における接線$\ell$の方程式は
\[ y=([$*$あ] \alpha^2+[$*$い])x+[$*$う] \alpha^3 \]
である．
(2)$\ell$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[$*$え] \alpha$であり，線分$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[おか]}{[き]} \alpha^4$である．
(3)$\alpha>0$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{L^2}{\alpha^2}$が最小になるのは$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$のときである．
(4)原点を除く直線$y=[$*$こ]x$上の点からは，$C$への接線がちょうど$2$本引ける．

原点を中心とした半径$1$の円に内接する正三角形$T_1$がある．$T_1$の頂点の$1$つが$\mathrm{A}(0,\ 1)$であり，$T_1$の残りの頂点のうち，$x$座標が負の値である方を$\mathrm{B}$とする．また，$T_1$を原点に関して対称移動したものを$T_2$とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$[$1$]$である．
(2)直線$\mathrm{AB}$と$T_2$の辺との交点のうち，$x$座標の値が大きい方の座標は$(x,\ y)=[$2$]$である．
(3)$T_1$と$T_2$が重なる部分の面積は$[$3$]$である．

原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．

(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．

$a>0$，$b>0$とする．$xy$平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$L^2$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を定数とし，$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき，$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p$の値を$p_0$とする．また，$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする．$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$y=x^2$の上を相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$は$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるように動くとする．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$がみたす関係を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を$y=px+q$とする．$q$の値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．点$\mathrm{H}$の軌跡を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{O}^\prime$，$\triangle \mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{A}^\prime$，$\triangle \mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{B}^\prime$，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{C}^\prime$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．