$xy$平面上の点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から次の規則に従って動くとする．表，裏がでる確率が等しい硬貨を$2$枚投げて，表が$2$枚でたら右に$1$移動し，裏が$2$枚でたら上に$1$移動し，表$1$枚裏$1$枚でたら右に$1$移動し，さらに上に$1$移動する．以下，この試行を繰り返す．従って，最初表$1$枚裏$1$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(1,\ 1)$で，次に表$2$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(2,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この試行を$3$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$4$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)この試行を$5$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[クケコ]}$である．また，そのうち点$\mathrm{P}$が点$(1,\ 1)$を通って座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である．
(4)この試行を$7$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 3)$を通るか，$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{\fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[15mm][c]{\small{ツテトナ}}}}$である．

$a,\ b$を実数の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 1)$がある．

三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ \frac{[ウエ]}{[オ]},\ \frac{[カ]}{[キ]} \right) \]
である．
点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OH}$の交点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]},\ \frac{[コ]}{[サ]},\ \frac{[シ]}{[ス]} \right) \]
である．
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$に垂直で，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直であるとする．このとき$a=[セソ]$，$\displaystyle b=\frac{[タ]}{[チ]}$である．以下で，$a,\ b$はこの値であるとする．
線分$\mathrm{CK}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直になるように点$\mathrm{L}$をとるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\left( [ツ],\ [テ],\ \frac{[ト]}{[ナ]} \right) \]
である．そのとき，$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直である．
平面$\mathrm{OAB}$において，三角形$\mathrm{KAB}$の外接円の周上に点$\mathrm{P}$をとるとき，線分$\mathrm{LP}$の長さの最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ニヌ]}}{[ネ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内に曲線$C:y=\log (x+1)$，点$\mathrm{P}(t,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(t,\ \log (t+1))$を考える．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$軸，直線$x=t$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$T(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{T(t)}{S(t)} \]
(3)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(4)台形$\mathrm{OPQR}$の面積を$U(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{U(t)}{S(t)} \]

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle (8^{\frac{1}{4}}-3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{4}}+3^{-\frac{1}{4}})(8^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})=\frac{[ナ][ニ]}{3}$
(2)$\log_2 72-3 \log_4 9+2 \log_4 6=[ヌ][ネ]$
(3)赤，白，青のカードが$4$枚ずつあり，各色ごとに$1$から$4$までの番号が$1$つずつ書かれている．$12$枚のカードをよくまぜてから同時に$3$枚取り出す．$3$枚の番号がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{55}$．
(4)$\mathrm{O}$を原点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の位置ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(t-6) \overrightarrow{a}+(t+1) \overrightarrow{b}$であるとする（$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，たがいに平行ではないものとする．$t$は実数とする．）．$t=[ヒ][フ]$のとき$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は一直線上にある．
(5)初項$-100$，公差$7$の等差数列において，第$[ヘ][ホ]$項で初めて$500$以上になる．

次の$[　]$にあてはまるものを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．

原点，点$(2,\ 2)$および点$(1,\ \sqrt{3})$を通る円がある．次の問に答えよ．

(1)この円の中心の座標は$([$10$],\ [$11$])$，半径は$[$12$]$である．
(2)点$\mathrm{A}(5,\ 1)$を通り円に接する$2$本の接線を考え，それぞれの接点を$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とすると，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[$13$] \sqrt{[$14$]}}{[$15$]}$である．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>1)$における接線を$\ell$とおく．$C$と$y$軸の共有点を$\mathrm{A}$，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とおく．原点を$\mathrm{O}$とおき，三角形$\mathrm{AOQ}$の面積を$S(t)$とおく．$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(t)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を求め，$S(t)$を$t$で表せ．
(3)$T(t)$を$t$で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to 1+0}\frac{T(t)}{S(t)}$を求めよ．

半円$C_1:x^2+y^2=16 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=x^2+a$について，次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が相異なる$2$つの共有点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{O}={60}^\circ$であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標および$a$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．
(3)$(2)$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$つの曲線
\[ C_1:y=x(x-3)^2,\quad C_2:y=m^2x \quad (m \text{は正の実数}) \]
は異なる$3$点で交わるものとする．原点以外の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (0<\alpha<\beta)$とする．

(1)$C_1$は，$x=[ア]$で極大値$[イ]$，$x=[ウ]$で極小値$[エ]$をとる．
(2)$m$の値の範囲は$[オ]<m<[カ]$であり
\[ \alpha=[キ]-m,\quad \beta=[ク]+m \]
である．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの領域の面積が等しくなるのは，$m=[ケ]$のときである．このとき，$2$つの領域の面積の和は$[コ]$となる．

座標平面において，原点$(0,\ 0)$を中心とする円に内接する正三角形で，点$(3,\ 4)$を頂点の$1$つとするものを考える．この三角形の他の$2$つの頂点の座標を求めよ．