「原点」について
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国立 山形大学 2015年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に放物線$y=x^2$がある．この放物線上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$があり，$a>0$，$b<0$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \sqrt{10}$のとき，点$\mathrm{B}$の座標と$a$を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \sqrt{10}$のとき，点$\mathrm{B}$の座標と$a$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に放物線$y=x^2$がある．この放物線上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$があり，$a>0$，$b<0$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \sqrt{10}$のとき，点$\mathrm{B}$の座標と$a$を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \sqrt{10}$のとき，点$\mathrm{B}$の座標と$a$を求めよ．
国立 奈良女子大学 2015年 第5問原点を中心とする半径$1$の円$C$と，点$\mathrm{A}(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円$C_1$がある．円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとり，$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点と点$\mathrm{P}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．以下の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S$を$\theta$を用いて表せ．
(ii) $S$の最大値を求めよ．
(1)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点と点$\mathrm{P}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．以下の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S$を$\theta$を用いて表せ．
(ii) $S$の最大値を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第2問$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第2問$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第4問自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第1問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心，半径$1$の円を$S$とする．点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，$\mathrm{P}$における$S$の接線に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から下ろした垂線の交点$\mathrm{Q}$のなす軌跡を$C$とする．$x$軸の正の方向に対して$\mathrm{OP}$のなす角を$t$として，$\mathrm{P}$の座標を$(\cos t,\ \sin t)$で表す．このときの$\mathrm{Q}$の座標を$(f(t),\ g(t))$とする．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第3問$x>0$で定義された曲線$y=\log x$を$C$とする．以下の問いに答えよ．
ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0}x \log x=0$を用いてよい．$a$を定数とする．
(1)点$(a,\ 0)$から$C$に何本の接線が引けるか調べよ．
(2)$C$の法線で点$(a,\ 0)$を通るものがちょうど$1$本あることを示せ．
(3)原点$(0,\ 0)$を通る$C$の接線，$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0}x \log x=0$を用いてよい．$a$を定数とする．
(1)点$(a,\ 0)$から$C$に何本の接線が引けるか調べよ．
(2)$C$の法線で点$(a,\ 0)$を通るものがちょうど$1$本あることを示せ．
(3)原点$(0,\ 0)$を通る$C$の接線，$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第1問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心，半径$1$の円を$S$とする．点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，$\mathrm{P}$における$S$の接線に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から下ろした垂線の交点$\mathrm{Q}$のなす軌跡を$C$とする．$x$軸の正の方向に対して$\mathrm{OP}$のなす角を$t$として，$\mathrm{P}$の座標を$(\cos t,\ \sin t)$で表す．このときの$\mathrm{Q}$の座標を$(f(t),\ g(t))$とする．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．