座標平面上において，曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ e^{2a})$における接線$\ell$は原点$\mathrm{O}$を通るとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \log t \, dt$および$\displaystyle \int (\log t)^2 \, dt$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(-6,\ 0)$をとる．また，曲線
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする．曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．

「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」
また， 各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を$\mathrm{A}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$，$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．」

(1)$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ．
(3)$x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(5)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$，曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

$m$を定数とし，放物線$y=x^2+mx-2m+1$を$C_1$とします．次の問いに答えなさい．

(1)$C_1$を原点に関して対称移動した後，さらに$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-m$だけ平行移動した放物線を$C_2$とするとき，放物線$C_2$の方程式を求めなさい．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$がともに，$x$軸と共有点をもつような定数$m$の値の範囲を求めなさい．

数直線上で，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，さいころを投げて偶数の目が出たときは正の方向へ$1$だけ進み，奇数の目が出たときは負の方向へ$1$だけ進むものとします．$k$回さいころを投げた後の，点$\mathrm{P}$の位置の座標を$X(k)$とするとき，次の確率を求めなさい．

(1)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$である確率
(2)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$以下である確率

関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の$2$点を$\mathrm{A}(3,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 5,\ 8)$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たす点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な平面$\alpha$を考える．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)平面$\alpha$が$x$軸，$y$軸，$z$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とするとき，四面体$\mathrm{OLMN}$の体積を求めよ．

原点を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$の上に，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$をとる．線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る直線が円$\mathrm{O}$と交わる$2$点のうち，$\mathrm{N}$に近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{NQ}$の長さを求めよ．

$xy$平面において，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C$とする．円$C$上に原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}$を取り，直線$\mathrm{OP}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$x$座標が$\mathrm{Q}$と同じで，$y$座標が$\mathrm{P}$と同じである点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$が円$C$上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点全体を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた曲線と$x$軸および$2$直線$x=0$，$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上の相異なる$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$2$つの条件
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| \\
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \cdots\cdots (*) \]
を満たしながら動くものとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$を$a$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ．また，$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ．
(3)$a$がとり得る値の範囲を求めよ．
(4)原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$(*)$および
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \]
を満たしながら動くとする．点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．
(5)$(4)$において，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ -5,\ 1)$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$から平面$S$に下ろした垂線と平面$S$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$を満たす$s,\ t$を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．