「原点」について
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国立 新潟大学 2015年 第3問座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第4問$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
国立 鳥取大学 2015年 第3問$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．
国立 鳥取大学 2015年 第3問$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．
国立 九州工業大学 2015年 第2問座標平面上に原点を中心とする半径$1$の円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$があり，点$\mathrm{A}$を通る傾き$k$の直線$\ell$を考える．直線$\ell$は円$C$と異なる$2$点で交わるものとし，点 $\mathrm{A}$から遠い方の交点を$\mathrm{P}$，近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$k$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を最大にする$k$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$k$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を最大にする$k$を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第4問$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第2問$p,\ q,\ r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ p,\ 0)$，$\mathrm{B}(q,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
国立 熊本大学 2015年 第2問$p,\ q,\ r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ p,\ 0)$，$\mathrm{B}(q,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
国立 佐賀大学 2015年 第2問点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．
国立 佐賀大学 2015年 第1問$\phantom{A}$
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x(5-x) & (x \geqq 0) \\
x(x^2-1) & (x<0)
\end{array} \right. \]
とおき，関数$y=f(x)$のグラフを$C$とおく．直線$y=ax$と$C$は，原点$\mathrm{O}$およびそれ以外の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているものとする．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は正，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は負であるとする．線分$\mathrm{OP}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_1(a)$，線分$\mathrm{OQ}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_2(a)$とし，$S(a)=S_1(a)+S_2(a)$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$S_1(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$(1)$で求めた範囲を$a$が変化するとき，$S(a)$の最小値を求めよ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x(5-x) & (x \geqq 0) \\
x(x^2-1) & (x<0)
\end{array} \right. \]
とおき，関数$y=f(x)$のグラフを$C$とおく．直線$y=ax$と$C$は，原点$\mathrm{O}$およびそれ以外の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているものとする．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は正，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は負であるとする．線分$\mathrm{OP}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_1(a)$，線分$\mathrm{OQ}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_2(a)$とし，$S(a)=S_1(a)+S_2(a)$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$S_1(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$(1)$で求めた範囲を$a$が変化するとき，$S(a)$の最小値を求めよ．