座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球がある．下の概略図のように，$y$軸の負の方向から仰角$\displaystyle \frac{\pi}{6}$で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル$(0,\ \sqrt{3},\ -1)$に平行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)球の$z \geqq 0$の部分が$xy$平面上につくる影を考える．$k$を$-1<k<1$を満たす実数とするとき，$xy$平面上の直線$x=k$において，球の外で光が当たらない部分の$y$座標の範囲を$k$を用いて表せ．
(2)$xy$平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．
(3)$z \geqq 0$において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

（新課程履修者）複素数平面上に原点$\mathrm{O}(0)$と点$\mathrm{A}(1+\sqrt{3}i)$がある．ただし，$i$を虚数単位とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0 \leqq \theta <2\pi$とする．
(2)点$\mathrm{A}$を原点のまわりに$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
(3)虚軸上の点$\mathrm{B}(z)$が$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすとき，複素数$z$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\mathrm{B}(z)$に対して，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を表す複素数を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．点$\mathrm{C}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$，$0^\circ<\angle \mathrm{AOC}<{90}^\circ$，$0^\circ<\angle \mathrm{BOC}<{90}^\circ$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{OA}$に引いた垂線と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D}$は$(2)$で定めた点とする．このとき，$\triangle \mathrm{OBD}$と$\triangle \mathrm{CDE}$の面積の和を$t$を用いて表せ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，上に凸であり，原点および点$\mathrm{Q}(a,\ 0)$を通るものとする．ただし，$0<a<1$である．関数$y=x^2$のグラフを$C$，関数$y=f(x)$のグラフを$D$とし，$C$と$D$の共有点のうち，原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m$，$D$の接線の傾きを$n$とするとき
\[ (2a-1)m=2an \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$と$a$の式で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq a$の範囲で，曲線$D$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた$S(a)$の$0<a<1$における最大値を求めよ．

座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$をとり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$0$になるような点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$の集合を$S$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$\ell$とする．球面$S$と直線$\ell$のすべての共有点について，その座標を求めよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，関数$f_n(x)=x^{n+1}(1-x)$を考える．

(1)曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,\ f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき，$a_n$を$n$の式で表せ．ただし，$a_n>0$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする．また，$(1)$で求めた$a_n$に対して，$0 \leqq x \leqq a_n$の範囲で，曲線$y=f_n(x)$，$x$軸，および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする．$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた$B_n$および$C_n$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{B_n}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい．