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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第3問
$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し,それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している,としよう.一般には,企業の業績には,社内のさまざまな活動だけでなく,社外の要因も大きくかかわっている.しかしながら,ここでは,問題が複雑にならないように,一部の活動に限定して,$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう.

栽培および醸造において,量と質には,醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する,という関係があると仮定する.この関係は,
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする.ここで,$x$はワインの醸造量(リットル),$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし,$a$と$b$は正の実数とする.また,変数$x$のとり得る値の範囲は,$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする.
醸造されるワインはすべて同一の品質で,同一の価格で販売されるものとし,その価格を$p$(円/リットル)で表す.市場において,品質の高いワインは希少性が増すため,その価格は非常に高いものになる.この関係は,
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する.ただし,$c$は正の実数とする.また,醸造されたワインは,上記で定まる価格で,すべて残らずに販売されてしまうものとする.
$\mathrm{M}$社は,以上の諸条件を前提にして,その年の栽培および醸造を行う.すなわち,醸造量を$x$と決め,それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより,品質の指標が$q$となるワインを作り,その全量(すなわち$x$)を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し,売上高$y=px$(円)を得る.

(1)売上高は,
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{(リットル)} \]
のとき,最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{(円)} \]
をとる.
(2)次に,ワインを醸造するに際し,技術上の制約や販売上の都合などの理由で,醸造量の下限が設けられているとしよう.この下限を正の実数$m$(リットル)で表す.$x$の取り得る値の範囲には,$x$が$m$以上という条件が追加されることになる.このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し,それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す.$\overline{x}$は$m$の関数であるので,これを$\overline{x}=f(m)$で表す.関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として,この関数のグラフを描きなさい.
同様に,$\overline{y}$も$m$の関数であるので,これを$\overline{y}=g(m)$で表す.関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として,この関数のグラフを描きなさい.
上智大学 私立 上智大学 2015年 第3問
ある工場では製品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を生産している.それらを生産するには,原料$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が必要である.$\mathrm{X}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには,$\mathrm{A}$が$1 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$4 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$1 \, \mathrm{kg}$必要である.$\mathrm{Y}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには,$\mathrm{A}$が$3 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$3 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$2 \, \mathrm{kg}$必要である.原料の在庫はそれぞれ,$\mathrm{A}$が$23 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$47 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$c \, \mathrm{kg}$である.また,$\mathrm{X}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$p$万円,$\mathrm{Y}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある.ただし,$c>0$,$p>0$,$q>0$とする.以下,在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする.

(1)$c=17$,$p=2$,$q=5$のとき,$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば,最大の利益を得る.
(2)$c=17$のとき,最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと,

$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$

$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$


である.ただし,$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする.

(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと,$c>[ユ]$である.
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