「単項式」について
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国立 熊本大学 2011年 第3問次の条件によって定められる関数の列$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し，その単項式を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ．
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し，その単項式を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ．