「単調」について
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国立 大分大学 2012年 第3問関数$\displaystyle y=f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}$に関して，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$と$y=x$のグラフを描け．
(2)$\displaystyle 1<x_0<\frac{3}{2}$に対して，$x_{n+1}=f(x_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を定義する．このとき，$x_n > x_{n+1} \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$が単調減少で，ある実数$L$に対して$a_n > L \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$ならば$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$が存在する．このことを用いて，数列$\{x_n\}$の極限を求めよ．
(1)$y=f(x)$と$y=x$のグラフを描け．
(2)$\displaystyle 1<x_0<\frac{3}{2}$に対して，$x_{n+1}=f(x_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を定義する．このとき，$x_n > x_{n+1} \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$が単調減少で，ある実数$L$に対して$a_n > L \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$ならば$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$が存在する．このことを用いて，数列$\{x_n\}$の極限を求めよ．
国立 茨城大学 2012年 第2問すべての実数$t$に対して関数$f(t),\ g(t)$を$f(t)=e^t-e^{-t},\ g(t)=e^t+e^{-t}$と定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ．
(2)$f(t)$は単調増加であることを示せ．
(3)$x=f(t),\ s=e^t$とするとき，$s$を$x$を用いて表せ．
(4)$x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ．
(6)座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える．この曲線を，媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ．
(1)すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ．
(2)$f(t)$は単調増加であることを示せ．
(3)$x=f(t),\ s=e^t$とするとき，$s$を$x$を用いて表せ．
(4)$x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ．
(6)座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える．この曲線を，媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ．
国立 旭川医科大学 2011年 第3問曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．
(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．
(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．
国立 宮城教育大学 2011年 第4問関数$f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(e^x+e^{-x})$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$g(x)=e^x-e^{-x}$とおく．関数$g(x)$は単調増加であることを示せ．
(2)$u=g(x)$とおくとき，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を$u$を用いて表せ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．
(1)$g(x)=e^x-e^{-x}$とおく．関数$g(x)$は単調増加であることを示せ．
(2)$u=g(x)$とおくとき，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を$u$を用いて表せ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．
公立 大阪市立大学 2011年 第3問$p,\ q$は正の実数で$p > q$とする．$x > 0$において，2つの関数
\[ f(x) = e^{px}+e^{-px},\quad g(x) = e^{qx}+e^{-qx} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$f(x) > 2$を示せ．
(2)$f(x) > g(x)$を示せ．
(3)$\displaystyle h(x) = \frac{f^{\, \prime}(x)-g^{\, \prime}(x)}{f(x)-g(x)}$とするとき，$h(x)$は$x > 0$において単調減少であることを示せ．
\[ f(x) = e^{px}+e^{-px},\quad g(x) = e^{qx}+e^{-qx} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$f(x) > 2$を示せ．
(2)$f(x) > g(x)$を示せ．
(3)$\displaystyle h(x) = \frac{f^{\, \prime}(x)-g^{\, \prime}(x)}{f(x)-g(x)}$とするとき，$h(x)$は$x > 0$において単調減少であることを示せ．
公立 大阪府立大学 2011年 第5問2つの関数$f(t)=t \log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 筑波大学 2010年 第3問$n$を自然数とし，1から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．
(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．
(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．