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私立 慶應義塾大学 2012年 第3問低所得者層が$20 \%$，中所得者層が$70 \%$，高所得者層が$10 \%$の社会がある．低所得者層の平均所得が$30$単位，中所得者層の平均所得が$50$単位，高所得者層の平均所得が$70$単位とする．
$xy$平面を考え，$x$軸を全所得者を所得の低い順に数えたときの累積人数の全所得者数に対する割合，$y$軸を対応する累積所得の全所得に対する割合にとる．例えば$x$座標が$0.2$のとき，$y$座標は低所得者全体の所得の全所得に対する割合である．これに対応する点は
\quad $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0.2,\ \frac{0.2 \times 30}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
となる．同様に$x$座標が$0.9,\ 1$の点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はそれぞれ
\quad $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0.9,\ \frac{0.2 \times [(23)][(24)] + 0.[(25)][(26)] \times [(27)][(28)]}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
\quad $\mathrm{C} \left(1,\ [(29)][(30)] \right)$
となる．
$x$軸上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{D}(0.2,\ 0)$，$\mathrm{E}(0.9,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 0)$としたとき，三角$\mathrm{OAD}$，台形$\mathrm{ADEB}$，台形$\mathrm{BEFC}$の面積の総和を平等度指数とよぶ．平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(31)][(32)]}{[(33)][(34)]}$
ある．ここで所得に対して，一定の割合で課せられる税，すなわち所得税を導入をした．低所得者には無税，中所得者には$10$単位，高所得者には$20$単位の所得税を課した．税を払った残りを改めて所得としたときの平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(35)][(36)][(37)]}{[(38)][(39)][(40)]}$
である．
$xy$平面を考え，$x$軸を全所得者を所得の低い順に数えたときの累積人数の全所得者数に対する割合，$y$軸を対応する累積所得の全所得に対する割合にとる．例えば$x$座標が$0.2$のとき，$y$座標は低所得者全体の所得の全所得に対する割合である．これに対応する点は
\quad $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0.2,\ \frac{0.2 \times 30}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
となる．同様に$x$座標が$0.9,\ 1$の点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はそれぞれ
\quad $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0.9,\ \frac{0.2 \times [(23)][(24)] + 0.[(25)][(26)] \times [(27)][(28)]}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
\quad $\mathrm{C} \left(1,\ [(29)][(30)] \right)$
となる．
$x$軸上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{D}(0.2,\ 0)$，$\mathrm{E}(0.9,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 0)$としたとき，三角$\mathrm{OAD}$，台形$\mathrm{ADEB}$，台形$\mathrm{BEFC}$の面積の総和を平等度指数とよぶ．平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(31)][(32)]}{[(33)][(34)]}$
ある．ここで所得に対して，一定の割合で課せられる税，すなわち所得税を導入をした．低所得者には無税，中所得者には$10$単位，高所得者には$20$単位の所得税を課した．税を払った残りを改めて所得としたときの平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(35)][(36)][(37)]}{[(38)][(39)][(40)]}$
である．
私立 西南学院大学 2012年 第1問$2$次関数のグラフ$C_1:y=2x^2+2x$について，以下の問に答えよ．
(1)$C_2:y=2x^2-10x+17$のグラフは$C_1$を$x$軸の正の方向に$[ア]$，$y$軸の正の方向に$[イ]$だけ平行移動したものである．
(2)$C_3$のグラフは$C_1$を平行移動したものである．$C_3$の頂点$\mathrm{A}$は，単位円の上にある．$C_1$の頂点と$\mathrm{A}$の距離が最小になるとき，
$C_3:y=[ウ]x^2+[エ] \sqrt{[オ]}x+\frac{[カ]-\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．
(1)$C_2:y=2x^2-10x+17$のグラフは$C_1$を$x$軸の正の方向に$[ア]$，$y$軸の正の方向に$[イ]$だけ平行移動したものである．
(2)$C_3$のグラフは$C_1$を平行移動したものである．$C_3$の頂点$\mathrm{A}$は，単位円の上にある．$C_1$の頂点と$\mathrm{A}$の距離が最小になるとき，
$C_3:y=[ウ]x^2+[エ] \sqrt{[オ]}x+\frac{[カ]-\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．
私立 成城大学 2012年 第3問座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{6},\ 2,\ -\sqrt{6})$，$\mathrm{B}(-\sqrt{2},\ 2 \sqrt{3},\ \sqrt{2})$がある．原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．
私立 久留米大学 2012年 第5問点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 3)$と点$\mathrm{B}(2,\ 4,\ 1)$の中点を$\mathrm{M}$，原点を$\mathrm{O}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ともに直交する単位ベクトル$\overrightarrow{t}$を成分表示で表すと$[$12$]$となる．また，$\mathrm{AB}$を底辺とする正三角形$\mathrm{ABC}$が$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MC}}$の条件を満たすとき，頂点$\mathrm{C}$の座標は$[$13$]$となる．
国立 信州大学 2011年 第2問座標平面上で$\overrightarrow{a}$を単位ベクトルとし，任意のベクトル$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を次のように定める．
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]
国立 富山大学 2011年 第3問平面内の2つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して
\[ \overrightarrow{v} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{v} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2011年 第6問$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．単位円上の点Pを，動径OPと$x$軸の正の部分とのなす角が$\theta$である点とし，点Qを$x$軸の正の部分の点で，点Pからの距離が2であるものとする．また，$\theta=0$のときの点Qの位置をAとする．
(1)線分OQの長さを$\theta$を使って表せ．
(2)線分QAの長さを$L$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{L}{\theta^2}$を求めよ．
(1)線分OQの長さを$\theta$を使って表せ．
(2)線分QAの長さを$L$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{L}{\theta^2}$を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第3問正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2| \ (-2a \leqq x \leqq 2a)$がある．$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2 (\text{cm}^3 / \text{秒})$の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T$(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
国立 浜松医科大学 2011年 第2問医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売する者の立場から，動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を題材にして，以下の問題を考察する．
(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．
私立 藤田保健衛生大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[ ]$，$(b_1,\ b_2)=[ ]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[ ]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[ ]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[ ]$である．
(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[ ]$，$(b_1,\ b_2)=[ ]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[ ]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[ ]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[ ]$である．