「単位」について
タグ「単位」の検索結果
（4ページ目：全56問中31問～40問を表示）
国立 奈良教育大学 2013年 第2問$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1,\ -1)$と$\overrightarrow{b}=(1,\ 2,\ 4)$について次の設問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$が垂直となるように実数$t$の値を定めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$が垂直となるように実数$t$の値を定めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第4問単位円上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を考える．動径$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta (0^\circ \leqq \theta < 360^\circ)$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\theta=135^\circ$のとき
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]},\ \frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \right) \]
である．
(2)$4y+3x$が最小となるとき，その値は$[ホマ]$であり，
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{[ミ]}{[ム]},\ -\frac{[メ]}{[モ]} \right) \]
である．
(1)$\theta=135^\circ$のとき
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]},\ \frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \right) \]
である．
(2)$4y+3x$が最小となるとき，その値は$[ホマ]$であり，
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{[ミ]}{[ム]},\ -\frac{[メ]}{[モ]} \right) \]
である．
私立 神奈川大学 2013年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．
公立 岐阜薬科大学 2013年 第2問空間内に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{D}(2,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(3,\ 3,\ 2)$がある．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}$のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．
(4)五面体$\mathrm{ABCDE}$の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}$のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．
(4)五面体$\mathrm{ABCDE}$の体積を求めよ．
公立 京都府立大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 4)$をとる．中心が$\mathrm{D}$，半径が$2$の球面を$S$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$S$が$\alpha$と交わってできる図形を$F$とする．$\mathrm{D}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．以下の問いに答えよ．
(1)$\alpha$に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)$F$は$\mathrm{H}$を中心とする円であることを示せ．
(3)$F$の半径と中心の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$は$F$上を動く点とし，直線$\mathrm{EP}$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}(s,\ t,\ 0)$とする．このとき，$s,\ t$が満たす方程式を求めよ．
(1)$\alpha$に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)$F$は$\mathrm{H}$を中心とする円であることを示せ．
(3)$F$の半径と中心の座標を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$は$F$上を動く点とし，直線$\mathrm{EP}$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}(s,\ t,\ 0)$とする．このとき，$s,\ t$が満たす方程式を求めよ．
公立 三重県立看護大学 2013年 第1問次の$(1)$から$(6)$の$[ ]$に適する答えを書きなさい．
(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[ ]$と$[ ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[ ]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[ ]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[ ]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[ ]$，$[ ]$となる．
(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[ ]$と$[ ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[ ]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[ ]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[ ]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[ ]$，$[ ]$となる．
国立 広島大学 2012年 第4問$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．原点Oを中心とする単位円周上の異なる3点A，B，Cが条件
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第3問単位時間あたり一定量の水の出るポンプを使ってプールに水を入れることを考える．以下の問いに答えよ．
(1)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプIを使うと2時間，ポンプIIを使うと3時間かかるとする．IとIIを同時に使うと何時間かかるか．
(2)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプAを使うと$a$時間，ポンプBを使うと$b$時間かかるとする．AとBを同時に使うと何時間かかるか．
(3)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプC$_1$，ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする．C$_1$とC$_2$を同時に使うと，(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという．$c$を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ．
(1)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプIを使うと2時間，ポンプIIを使うと3時間かかるとする．IとIIを同時に使うと何時間かかるか．
(2)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプAを使うと$a$時間，ポンプBを使うと$b$時間かかるとする．AとBを同時に使うと何時間かかるか．
(3)プールに水をいっぱい入れるのに，ポンプC$_1$，ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする．C$_1$とC$_2$を同時に使うと，(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという．$c$を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ．
国立 山形大学 2012年 第1問単位円の円周を$6$等分する点を時計回りの順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．さいころを投げて出た目$i$と点$\mathrm{P}_i$を対応させる．さいころを$3$回投げて出た目が全て異なる場合は対応する点を結ぶと三角形ができる．次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_5$と$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_5$の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを$3$回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを$3$回投げて，二等辺三角形（ただし正三角形は除く）ができる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_5$と$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_5$の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを$3$回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを$3$回投げて，二等辺三角形（ただし正三角形は除く）ができる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ．
国立 茨城大学 2012年 第3問座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$がある．点$\mathrm{P}$が単位円$C:x^2+y^2=1$上を動くとき，次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2$が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2$が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．