$a,\ b,\ c,\ d$は実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-d & c \\
b & -a
\end{array} \right)$とする．$A^2+A+E=O$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

(1)$a+d$および$ad-bc$の値を求めよ．
(2)$A^3,\ A^6,\ B^3,\ B^6$を求めよ．
(3)$B^{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

各成分が$0$以下の整数からなる$2$行$2$列の行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
で，$A^2+A=E$を満たすものをすべて求めよ．（ただし，$E$は単位行列を表す．）

実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \biggr)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$と$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を順に$\ell,\ m$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ P_3$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr), P_1=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$
$P_2=P_1+A^{\ell}(P_1-P_0)$
$P_3=P_2+A^m(P_2-P_1)$
\end{itemize}
このとき，$P_3=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \right)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを$k+1$回投げて，出た目を順に$m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_{k+1}$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_{k+2}$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right), P_1=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$
$P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots,\ k+1)$
\end{itemize}
さらに，ベクトル$P_1,\ \cdots,\ P_{k+1}$がすべて異なり$P_{k+2}=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$となる確率を$q_k$とする．このとき，$q_1,\ q_2,\ q_3$を，それぞれ求めよ．

実数$a,\ b$に対して，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & 2a \\
1 & 2a-1
\end{array} \right)$が$(A-bE)^2=O$をみたしているとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

2次の正方行列$A,\ B$と実数$p$が
\[ A+B=3E,\quad pA-B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & -3 \\
-6 & 3
\end{array} \biggr),\quad AB=O \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)$(p+1)A=\biggl( \begin{array}{cc}
3 & -3 \\
-6 & 6
\end{array} \biggr),\ (p+1)B=\biggl( \begin{array}{cc}
3p & 3 \\
6 & 3(p-1)
\end{array} \biggr)$を示せ．
(2)実数$p$の値と行列$A,\ B$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^{n+1}=3A^n$を示し，$A^n$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{ccc}
9 & 4 & 8 \\
-8 & -3 & -8 \\
4 & 2 & 5
\end{array} \right)$とし，$E$を3次の単位行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A^2-10A=-9E$であることを示せ．
(2)$AB=\left( \begin{array}{ccc}
-3 & 4 & -18 \\
5 & -1 & 18 \\
-4 & 1 & -9
\end{array} \right)$を満たす行列$B$を求めよ．

次の行列$A$を考える．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
-2 & 0
\end{array} \right) \]
次の各問いに答えよ．

(1)$2 \times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき
\[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \]
が成立することを示せ．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列である．
(2)$A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．
(3)$E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．

単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，関係式
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \]
をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき
\[ xE+yA=(E-A)^{-1} \]
であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．