$a,\ b$は実数で$b>0$とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & 1-a
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
が$ABAB=E$を満たしている．ただし$E$は2次の単位行列とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)$n$を自然数とする．$A^n=E$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)座標平面上において，$a=2$のとき行列$A$の表す1次変換を$f$とおく．点$\mathrm{P}(1,\ 1)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$が$f$によって移る点を$\mathrm{R}$とする．このとき$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$S$を求めよ．

$A$を実数を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とし，任意の実数$x$に対して，行列$(xE-A)$を考える．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列とする．相異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して，行列$(\alpha E-A)$，$(\beta E-A)$は逆行列を持たないとき，次の問に答えよ．

(1)$\alpha+\beta=a+d,\ \alpha\beta=ad-bc$であることを示せ．また，$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$は逆行列を持つことを示せ．
(2)$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$の逆行列の$(i,\ j)$成分を
\[ a_{ij}(x),\quad (i=1,\ 2 \;;\; j=1,\ 2) \]
と表し，
\[ b_{ij}=\lim_{x \to \alpha}x^2(x-\alpha)a_{ij}(x)+\lim_{x \to \beta}x^2(x-\beta)a_{ij}(x) \]
とする．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \right)$を$A$を用いて表せ．

2次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．

(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす2次正方行列$X$を求めよ．
(4)(3)の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は2次の単位行列，$O$は零行列とする．

次の条件をみたす2次正方行列$A,\ B$を考える．
\[ AB=-E,\quad A-B=E \quad (E \text{は単位行列}) \]
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A^2-A$を求めよ．
(2)$A^3$を求めよ．
(3)$A^n=E$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．
(5)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1
\end{array} \right)$となるとき，$A$を求めよ．

座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$に対して
\[ X=-\frac{1}{5}(A-2E),\quad Y=\frac{1}{5}(A+3E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)$XY,\ YX,\ X^2,\ Y^2$を計算せよ．
(2)$A=aX+bY$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$に対して
\[ X=-\frac{1}{5}(A-2E),\quad Y=\frac{1}{5}(A+3E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)$XY,\ YX,\ X^2,\ Y^2$を計算せよ．
(2)$A=aX+bY$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．

(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．

(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．

$A$は$2$次正方行列とし，$E$，$O$はそれぞれ$A$と同じ型の単位行列，零行列とする．$A$は$kE$（$k$は実数）の形でなく，$A^2-3A+2E=O$を満たす．以下の問いに答えなさい．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$A^3=aA+bE$を満たす実数$a,\ b$を求めなさい．
(2)$A^n=a_nA+b_nE$を満たす実数$a_n,\ b_n$を求めなさい．
(3)$A^n$の逆行列が$xA+yE \ (x,\ y\text{は実数})$と表せるとき，$x,\ y$を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=x^2-ax+3$の頂点が直線$y=3x+5$上にあるとき，定数$a$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_9\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log_9 \frac{1}{3}-\frac{3}{2}\log_9 \sqrt[3]6$を簡単にせよ．
(3)曲線$y=\sqrt{x-1}$上の点$(2,\ 1)$における接線を$\ell$とする．この曲線と$x$軸および接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が$A^2-4A+3E=O$を満たすとき，$a+d$の値を求めよ．ただし，$O$は零行列，$E$は単位行列である．