行列$A$を$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．

(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．

行列$X=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right),\ Y=\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
3 & 6
\end{array}
\right)$は$XY=YX$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$c,\ d$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$X^2=E,\ b>0$のとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)$xy$平面上に直線$\ell$があり，(2)で求めた行列$X$の表す$1$次変換によって$\ell$上の点はすべて$\ell$上の点に移される．$\ell$の方程式を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は次の条件をみたすものとする．
\begin{eqnarray}
a+d=1,\ & & A^2-A-2E=O \nonumber \\
& & (\text{ただし，}E \text{は単位行列で，}O \text{は零行列である．}) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ．
\[ xA+yE=O \]
(2)自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて，$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．

$a,\ b$は定数で$a \neq 0$とする．自然数$n$に対して，整式$(ax+b)^n$を$x^2+1$で割った余りを$a_nx+b_n$と表し，
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく．

(1)行列$A$は，すべての$n$に対して，
\[ \biggl( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \biggr) \]
を満たす．行列$A$を求めよ．
(2)(1)で求めた行列$A$に対し，
\[ A^2+pA+qE=O \]
となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(3)(2)で求めた$p,\ q$に対し，定積分
\[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \]
を求めよ．
(4)$a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ．

サイコロを$4$回投げて，$1$，$2$，$3$，$4$回目に出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，行列$A$を$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
-c & -d
\end{array} \biggr)$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$A^2-(a-d)A-(ad-bc)E=O$を示せ．ただし，$E,\ O$はそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$A^2=O$が成り立つための必要十分条件は，$ad=bc$および$a=d$が成り立つことである．これを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とする．$A^n=O$となる確率を求めよ．

$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．また$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，$A^2=-E \ $（$E$は$2$次単位行列）が成り立つとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)行列の和$A+A^2+A^3+\cdots +A^{15}+A^{16}+A^{17}$を求めよ．
(3)行列の和$A^{17}+A^{16}B+A^{15}B^2+\cdots +A^2B^{15}+AB^{16}+B^{17}$を求めよ．

2次の正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P$(x_1,\ y_1)$，Q$(x_2,\ y_2)$があって，次の2つの条件を満たす．

条件1：1次変換$f$により，点Pは点$(-2x_2,\ -2y_2)$に移る．
条件2：合成変換$f \circ f$により，点Qは点$(4x_1,\ 4y_1)$に移る．


(1)行列$A^3$で表される1次変換により，点Pは点$(-8x_1,\ -8y_1)$に，点Qは点$(-8x_2,\ -8y_2)$に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，$x_1y_2-x_2y_1 \neq 0$を示せ．
(3)$A^3=-8E$を示せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．

$2$次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．

(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす$2$次正方行列$X$を求めよ．
(4)$(3)$の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は零行列とする．