地球を半径$1$の完全な球と仮定し，その球面を$S$と表す．また，地球の中心$\mathrm{O}$，そして，$S$上の，北緯$30^\circ$東経$60^\circ$の点$\mathrm{A}$，および，南緯$30^\circ$西経$60^\circ$の点$\mathrm{B}$の$3$点を含む平面を$\alpha$とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，赤道上にあり，それぞれ，東経$0^\circ$，東経$90^\circ$の点とする．また，北極点を点$\mathrm{R}$とする．そこで，原点が地球の中心$\mathrm{O}$であり，さらに，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$が$(0,\ 1,\ 0)$，そして，点$\mathrm{R}$が$(0,\ 0,\ 1)$と表される空間座標を考える．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めなさい．
(2)地球表面$S$上の東経が$135^\circ$の点で，平面$\alpha$上にあるものの緯度$\theta (-90^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ)$に対して，$\tan \theta$を求めなさい．ただし，北極点の緯度は$90^\circ$，南極点の緯度は$-90^\circ$とする．

半径$1$の球が平面の上に接している．平面との接点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$を球の南極点とみなしたときの球の北極点を$\mathrm{N}$とする．平面上に点$\mathrm{A}$を$\mathrm{OA}=3$となるようにとる．また点$\mathrm{B}$を$\mathrm{OB}=4$であり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{OB}$が直交するようにとる．\\
\quad 点$\mathrm{N}$と平面上の点$\mathrm{P}$を結ぶ直線が球面と交わる$2$点の内，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{P}^{\prime}$とする．このとき$\mathrm{N}$と$\mathrm{A}^{\prime}$，$\mathrm{B}^{\prime}$の距離はそれぞれ
\[ \mathrm{NA}^{\prime}= \frac{[$1$][$2$]}{\sqrt{[$3$][$4$]}},\quad \text{NB}^{\prime}=\frac{[$5$][$6$]}{\sqrt{[$7$][$8$]}} \]
である．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，$\mathrm{P}^{\prime}$は直径
\[ \frac{[$9$][$10$]}{\sqrt{[$11$][$12$]}} \]
の円を動く．