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東洋大学 私立 東洋大学 2016年 第2問
厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のアクリル板で半球形の容器を作るとき,アクリル板の強度を考慮すると,最大で$50 \, l$の容積をもつ容器を作ることができるものとする.このアクリル板の厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに,作れる容器の最大の容積は$1.3$倍になる.一方,このアクリル板は,厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のときに光の透過率が$90 \, \%$で,厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに透過率は$0.9$倍になる.次の各問に答えよ.ただし,アクリル板は$1 \, \mathrm{cm}$単位の加工しかできないこととし,必要ならば$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$を用いてもよい.

(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき,その透過率は$[アイ] \, \%$になる.
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき,容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる.
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら,容積の最も大きな容器を作りたい.このとき,アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく,その容器の容積は,小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である.
山口大学 国立 山口大学 2015年 第4問
半径$3 \, \mathrm{cm}$の半球形の容器の中に$8 \pi \, \mathrm{cm}^3$の水が入っている.この容器の水の中に半径$r \, \mathrm{cm}$の鉄の球を静かに入れた.このとき下の断面図のように,鉄の球は水面と上端で接した.$r$の値を求めなさい.ただし,容器から水がこぼれることはないものとする.
(図は省略)
山口大学 国立 山口大学 2015年 第3問
半径$3 \, \mathrm{cm}$の半球形の容器の中に$8 \pi \, \mathrm{cm}^3$の水が入っている.この容器の水の中に半径$r \, \mathrm{cm}$の鉄の球を静かに入れた.このとき下の断面図のように,鉄の球は水面と上端で接した.$r$の値を求めなさい.ただし,容器から水がこぼれることはないものとする.
(図は省略)
東京慈恵会医科大学 私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第3問
$\theta$は$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする.$xyz$空間内の平面$z=0$上に$2$点
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり,$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき,線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする.空間内の$z \geqq 0$の部分において,底面が$D$,$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える.半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$,$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$B$を平面$z=t (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ.
(2)$L$の体積を求めよ.
南山大学 私立 南山大学 2011年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である.$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる.
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする.$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として,$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる.$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき,関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である.
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある.$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき,$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わるとき,$m$の値の範囲は$[キ]$であり,原点を$\mathrm{O}$とするとき,線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である.
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している.円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり,その円柱の体積は$[コ]$である.
(図は省略)
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