次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[　]$，最小値は$[　]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[　]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[　]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[　]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[　]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[　]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[　] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[　] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[　]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[　]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[　]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[　]$円である．

図のように，$4$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=10$の四角形$\mathrm{ABCD}$が円$\mathrm{O}$に内接するものとする．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$を$\theta_1$，$\angle \mathrm{CDA}$を$\theta_2$とするとき，$\cos \theta_1$と$\cos \theta_2$の値および対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)この円の半径$R$を求めよ．
(3)この四角形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）

下図のように，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円を$\mathrm{O}$，その接点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[　]}$，円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積は$\displaystyle \frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
（図は省略）

図のように，表面積が$2\pi$で，底面の半径が$r$，高さが$h$の円柱がある．

(1)$h$を$r$の式で表せ．
(2)この円柱の体積が最大となるような$r$と$h$の値を求めよ．また，そのときの体積を求めよ．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，図のように辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$となるようにとる．以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(4)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$r$とし，$\triangle \mathrm{ADC}$の内接円の中心を$\mathrm{O}^\prime$，半径を$r^\prime$とする．

\mon[$(5$-$1)$] $r$と$r^\prime$の値を求めよ．
\mon[$(5$-$2)$] 線分$\mathrm{OO}^\prime$の長さを$L$とする．$L^2$の値を求めよ．

地球が半径$6378 \, \mathrm{km}$の完全な球であると仮定する．地球の中心を$\mathrm{O}$，北緯$45$度，東経$150$度の地点を$\mathrm{A}$，南緯$45$度，西経$120$度の地点を$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ地球の表面上を最短の時間で移動するときの$\mathrm{AB}$間の距離を求めよ．ただし，円周率の値は$3.14$とする．

座標平面上に点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$があり，原点$\mathrm{O}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}$という関係が成り立っている．$\mathrm{P}$が，点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円周$C$上をうごくとき，

(1)点$\mathrm{Q}$の描く図形$D$を図示せよ．
(2)$C$と$D$の交点の$x$座標をすべて求めよ．

半径$1$の球に内接する直方体を考える．これらの体積の最大値$M$を求めたい．

(1)直方体の$1$つの辺の長さを$x$と固定したときの直方体の体積の最大値$V(x)$を求めよ．
(2)$M$を求めよ．