$a$を実数とし，$2$つの放物線
\[ C:y=-x^2+4,\quad C_a:y=(x-a)^2+a \]
を考える．

(1)$C$と$C_a$が異なる$2$点で交わるための条件は，
\[ -a^2+[サ]a+[シ]>0 \]
であり，したがって
\[ [ス]<a<[セ] \]
である．このとき
\[ b=\sqrt{-a^2+[サ]a+[シ]} \]
とおくと，$(a,\ b)$は中心が$([ソ],\ [タ])$で，半径が$[チ]$の円周上にある．
(2)$[ス]<a<[セ]$のとき，$C$と$C_a$との交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，
\setstretch{2}
\[ \begin{array}{rcl}
\alpha+\beta &=& [ツ]a+[テ] \\
2\alpha\beta &=& [ト]a^2+[ナ]a+[ニ] \\
\beta-\alpha &=& [ヌ]b+[ネ]
\end{array} \]
\setstretch{1.3}
である．
(3)$C$と$C_a$により囲まれた図形の面積は，$a=[ノ]$のときに最大値$[ハ]$をとる．

底面の円の半径が$3 \; \mathrm{cm}$，高さが$6 \; \mathrm{cm}$の直円錐を考える．直円錐の頂点を$\mathrm{P}$，底面の円の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とする．底面の円の円周を$C_1$，$\mathrm{O}$を通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周を$C_2$とする．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がそれぞれ$C_1$，$C_2$上を頂点$\mathrm{P}$から見て左回りに移動している．点$\mathrm{A}$の速さは$3 \pi \,\mathrm{cm}/$秒，点$\mathrm{B}$の速さは$\pi \,\mathrm{cm}/$秒であり，時刻$t=0$において，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$は一直線上にあるとする．

(1)$\mathrm{A}$の角速度は$[コ] \pi$ラジアン$/$秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$ラジアン$/$秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．
(2)線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[ス]-[セ] \cos \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm} \]
である．
(3)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと
\[ \frac{[ソ]}{\sqrt{[タ]}} \cos \frac{\pi}{2} t \]
である．
(4)三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[チ]-[ツ] \cos^2 \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm}^2 \]
である．
(5)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$\ell$とし，$\ell$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは
\[ \frac{[テ]}{[ト]} \mathrm{cm} \]
である．

次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，放物線$F:y=x^2+1$および，点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を中心とする半径$4$の円$C$がある．$F$上に点$\mathrm{P}(t,\ t^2+1)$，$C$上に点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．

(1)$\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
(2)$\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{P}$のみが動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{[ツ]}{[テ]} \frac{b}{a}$で最小値をとる．その最小値を$a$で表すと
\[ \frac{1}{8} \left( [ト]a+\frac{[ナ]}{a}+[ニ] \right) \]
である．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]}$で最小値
\[ \frac{[ハ]}{[ヒ]}+\frac{[フ]}{[ヘ]} \sqrt{[ホ]} \]
をとる．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に，この円の外にある点$\mathrm{P}$から$2$本の接線をひき，それらのなす角のうち$C$を挟むものの大きさを$\theta$とする．さらに，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．

(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）

$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円の内部の点$\mathrm{P}$を通る弦$\mathrm{AB}$について$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=1$であるとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めなさい．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形に内接する円の半径を求めよ．
（図は省略）

$A={60}^\circ$，$B={45}^\circ$，$a=\sqrt{6}$である三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[　]$であり，$b=[　]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{7}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{B}$は何度か．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円を$S_1$とするとき，その半径$r_1$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$および円$S_1$に接する円を$S_2$とするとき，その半径$r_2$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$xy=100$，$x>y$をみたす自然数$x,\ y$の組み合わせは何通りあるか．
(2)次の値を求めよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k^2-3k+5) \]
(3)$k$が定数のとき，$y=x^2-2kx+2k^2+3k-2$は放物線を表す．定数$k$をいろいろ変化させるとき，放物線の頂点はどのような曲線上を動いていくか．
(4)半径が$2t+1$の球の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を$t$で微分した導関数を求めよ．
(5)$\log_{10}x=0.8$，$\log_{10}y=0.3$のとき，$\log_{10}x^2y^3$の値を求めよ．
(6)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$3$回出る確率を求めよ．