「半径」について
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(6ページ目:全712問中51問~60問を表示)![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
複素数$z$に対して
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする.ただし,$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする.
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.次の問に答えよ.
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ.
(2)$|\alpha|<1$のとき,すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ.
(3)$|\alpha|=1$とする.複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき,これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある.円$C_z$の中心と半径を求めよ.
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする.ただし,$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする.
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.次の問に答えよ.
(1)$f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ.
(2)$|\alpha|<1$のとき,すべての複素数$z$に対して
\[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \]
が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ.
(3)$|\alpha|=1$とする.複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき,これらの$f^n(z) (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある.円$C_z$の中心と半径を求めよ.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
以下の問に答えよ.
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる.したがって,$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる.
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ii) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(iii) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ.
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
(図は省略)
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる.したがって,$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる.
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ii) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(iii) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ.
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
(図は省略)
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある.ここで$w=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)と表すとき,以下の問に答えよ.
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある.ここで$w=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)と表すとき,以下の問に答えよ.
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
点$z$は複素数とする.点$z$は,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動く.$\displaystyle w=\frac{6z-1}{2z-1}$としたとき,$|w|$の最大値を$M$,最小値を$m$とする.$3(M-m)$の値を求めよ.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい.
半径$3$の球に内接する円柱の体積の最大値は$[ ] \pi$である.ただし,$\pi$は円周率である.
半径$3$の球に内接する円柱の体積の最大値は$[ ] \pi$である.ただし,$\pi$は円周率である.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい.
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である.また,$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする.
(1)$\cos A=[ ]$である.
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である.
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である.
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である.
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である.また,$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする.
(1)$\cos A=[ ]$である.
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である.
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である.
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
\begin{mawarikomi}{68mm}{
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$,半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が,放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で,直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している(直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする).ここで$2$つの曲線が接するとは,交点における接線が一致することを意味する.このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり,$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす.また,放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である.このとき,放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である.
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり,$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす.また,放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である.このとき,放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
$\mathrm{AB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,$\mathrm{OB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$t$を用いて表せ.
(2)$(1)$で定めた$t$の値を求めよ.
(3)$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ.
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(5)$(4)$のとき,三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ.
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$t$を用いて表せ.
(2)$(1)$で定めた$t$の値を求めよ.
(3)$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ.
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(5)$(4)$のとき,三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ.