座標平面上の点$(1,\ 0)$をAとする．原点O$(0,\ 0)$を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，$\displaystyle \angle \text{AOP}=\theta,\ \angle \text{AOQ}=\theta+\frac{\pi}{3},\ 0<\theta<\frac{2\pi}{3}$を満たす．また，点Pから$x$軸に引いた垂線と$x$軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qの$y$座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Cの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点$\mathrm{A}(2,\ 8)$と点$\mathrm{B}(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，$2$直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の$2$次関数のグラフ$C_2$は$(2)$で求めた交点を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さを
\[ \mathrm{AB}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=3\sqrt{2},\quad \mathrm{DA}=2 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さ$l$と，内角$\angle \mathrm{DAB}$の大きさ$\alpha$を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接する円の半径$R$を求めよ．

半径$1$の球を$\mathrm{O}_1$とし，球$\mathrm{O}_1$に内接する立方体を$\mathrm{B}_1$とする．次に立方体$\mathrm{B}_1$に内接する球を$\mathrm{O}_2$とし，球$\mathrm{O}_2$に内接する立方体を$\mathrm{B}_2$とする．以下この操作を繰り返してできる球を$\mathrm{O}_n$，立方体を$\mathrm{B}_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)立方体$\mathrm{B}_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球$\mathrm{O}_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．

直線$\ell:y=x$上を動く点Pと，Pで$\ell$と接する円$C_1$を考える．Pの座標を$(t,\ t)$，$C_1$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし$t>0,\ a>b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)以下の(i)，(ii)に答えよ．

\mon[(i)] $a+b$を$t$を用いて表せ．
\mon[(ii)] $C_1$の半径を$a,\ b$を用いて表せ．

(2)中心が$(1,\ -1)$の円$C_2$も$\ell$と接しているとする．$C_1$が，さらに$C_2$に接しているとする．以下の(i)，(ii)に答えよ．

\mon[(i)] $(a+b)^2=8(a-b)$を示せ．
\mon[(ii)] $b$の最大値を求めよ．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点A$(2,\ 8)$と点B$(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点A，Bにおける接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，2直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の2次関数のグラフ$C_2$は(2)で求めた交点を頂点とし，点Aを通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

半径1の球をO$_1$とし，球O$_1$に内接する立方体をB$_1$とする．次に立方体B$_1$に内接する球をO$_2$とし，球O$_2$に内接する立方体をB$_2$とする．以下この操作を繰り返してできる球をO$_n$，立方体をB$_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)立方体B$_1$の1辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2)球O$_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3)球O$_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．

$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．

$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．

$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．