半径$1$の球が平面の上に接している．平面との接点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$を球の南極点とみなしたときの球の北極点を$\mathrm{N}$とする．平面上に点$\mathrm{A}$を$\mathrm{OA}=3$となるようにとる．また点$\mathrm{B}$を$\mathrm{OB}=4$であり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{OB}$が直交するようにとる．\\
\quad 点$\mathrm{N}$と平面上の点$\mathrm{P}$を結ぶ直線が球面と交わる$2$点の内，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{P}^{\prime}$とする．このとき$\mathrm{N}$と$\mathrm{A}^{\prime}$，$\mathrm{B}^{\prime}$の距離はそれぞれ
\[ \mathrm{NA}^{\prime}= \frac{[$1$][$2$]}{\sqrt{[$3$][$4$]}},\quad \text{NB}^{\prime}=\frac{[$5$][$6$]}{\sqrt{[$7$][$8$]}} \]
である．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，$\mathrm{P}^{\prime}$は直径
\[ \frac{[$9$][$10$]}{\sqrt{[$11$][$12$]}} \]
の円を動く．

次の各問いに答えよ．

(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．

円$x^2+(y-1)^2=1$と外接し，$x$軸と接する円で中心の$x$座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする．

(1)条件Pを満たす円の中心は，曲線$y=[カ]\ (x>0)$の上にある．また，条件Pを満たす半径9の円を$C_1$とし，その中心の$x$座標を$a_1$とすると，$a_1=[キ]$である．
(2)条件Pを満たし円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．また，$n=3,\ 4,\ 5,\cdots$に対し，条件Pを満たし，円$C_{n-1}$に外接し，かつ円$C_{n-2}$と異なる円を$C_n$とする．円$C_n$の中心の$x$座標を$a_n$とするとき，自然数$n$に対し$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表しなさい．求める過程も書きなさい．
(3)(1),\ (2)で定めた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．求める過程も書きなさい．

空間に点$\mathrm{O}$と三角錐$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1,\ \mathrm{OD}=\sqrt{5}$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$をみたしている．三角錐$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において， $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$，内心を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．

以下の$[　]$にあてはまる値を答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．

(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．

(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．

次の各設問の$[12]$から$[15]$までの空欄に適するものを書け．また，$[　]$には数字を入れよ．

$xy$平面上で連立不等式$3x-y+1 \geqq 0,\ x+3y-3 \geqq 0,\ 2x+y-6 \leqq 0$の表す領域を$D$とする．
(1)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$3x+2y$の最大値は$[12]$であり，最小値は$[13]$である．
(2)領域$D$は三角形である．この三角形の外接円の中心の座標は$([14],\ [15])$であり，半径は$[　]$である．

$n$を$3$以上の整数とする．$xyz$空間の平面$z=0$上に，$1$辺の長さが$4$の正$n$角形$P$があり，$P$の外接円の中心を$\mathrm{G}$とおく．半径$1$の球$B$の中心が$P$の辺に沿って$1$周するとき，$B$が通過してできる立体を$K_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$をとる．$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．

(i) $K_n$を平面$z=t (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(ii) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ．

(3)$\mathrm{G}$を通り，平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする．$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}(p,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(0,\ q)$を通る直線が円$C$上の点$\mathrm{R}$において円$C$と接している．ただし，$p>1$，$q>1$とする．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さを$t$とするとき，$p$と$q$を$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る円の直径を$d$とするとき，$d^2$を$t$を用いて表せ．
(4)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$p$の値を求めよ．

$a$は$\displaystyle a>\frac{1}{2}$を満たす定数とする．座標平面上の半径$R$の円$C_1:x^2+(y-a)^2=R^2$は，$y>0$の表す領域にある．円$C_1$が放物線$y=x^2$と共有する点は$2$点のみである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$y$座標および$a$を，$R$を用いて表せ．
(2)円$C_1$と放物線$y=x^2$の共有点における放物線の$2$つの接線のうち傾きが正のものを$\ell$とする．$\ell$の式を$R$を用いて表せ．
(3)点$(0,\ -a)$を中心とする半径$r$の円$C_2$が直線$\ell$と接するとき，$r$を$R$を用いて表せ．