次の問いに答えなさい．

$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．

(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[　]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[　]$，半径が$[　]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[　]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[　]$の範囲にある．

放物線$y=x^2-4x+6$と放物線$y=2x^2-7x+8$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，この$2$つの放物線の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{C}$は$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円上にあり$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とは異なる点とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[オ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積が等しいとき，点$\mathrm{C}$の座標は$([ケコ],\ [サ])$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{6}$，$\mathrm{CA}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{3}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

座標平面において点$\mathrm{C}(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$の$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，その$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$\alpha+\beta$および$\alpha \beta$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．

座標平面において点$\displaystyle \mathrm{A}_n \left( 1,\ \frac{1}{n} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 1-\frac{1}{n},\ 0 \right)$および$\mathrm{O}(0,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の外接円の半径を$R_n$とおく．ただし$n$は$2$以上の整数とする．

(1)$R_n$を$n$の式で表せ
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} R_n$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)半径$1$の球が正四面体のすべての面に接しているとき，この正四面体の$1$辺の長さは$[ナ] \sqrt{[ニ]}$である．
(2)半径$1$の球が正四面体のすべての辺に接しているとき，この正四面体の$1$辺の長さは$[ヌ] \sqrt{[ネ]}$である．

中心$\mathrm{A}(1,\ 1)$，半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる直線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=7$のとき次の問に答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ア]$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$[イ]$である．
(3)$\mathrm{A}$から円の中心$\mathrm{O}$を通る直線が$\mathrm{BC}$に交わる点を$\mathrm{D}$とすると，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$[ウ]$である．

$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(c,\ 0) (c>0)$がある．

(1)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$となる点$\mathrm{P}$は，点$([ア],\ [イ])$を中心とする半径$[ウ]$の円を描く．
(2)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}:\mathrm{PC}=4:2:1$となるような点$\mathrm{P}$が存在するのは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \leqq c \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$のときである．

以下の問いに答えなさい．

(1)図の直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$とする．また，辺$\mathrm{BC}$を二等分する点を$\mathrm{D}$とし，$\angle \mathrm{BAD}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{DAC}$を$\beta$とする．このとき$\sin \alpha$及び$\sin \beta$の値を求めなさい．

\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](0,42)(0,25)%
\tenretu*{A(35,23)n;B(5,5)w;C(35,5)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\Kakukigou\B\A\D<Hankei=12mm,moziiti=16mm>{$\alpha$}%
\Kakukigou<2>\D\A\C<Hankei=8mm,moziiti=12mm>{$\beta$}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\A\D}%
\put(33,5){\drawline(0,0)(0,2)}%
\put(33,7){\drawline(0,0)(2,0)}%
}
\tenretu*{D(36,23);E(2,3);F(36,3);G(10,5.5);H(20,2)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\H{$\mathrm{D}$}
\end{zahyou*}

(2)半径$r (>0)$の円の円周の長さを$L$とし，面積を$S$とする．また，半径$r$の球の体積を$V$とする．このとき$x$についての$2$次方程式
\[ Vx^2+Sx-L=0 \]
の実数解がいくつあるか求めなさい．
(3)長さ$1$メートルの細いひもを$1$本だけ余すところなく用いて平面上に正三角形を$1$つ作ったとき，その正三角形の面積を求めなさい．また，同様にして正方形を$1$つ作ったとき，その正方形の面積を求めなさい．さらに，同様にして円を$1$つ作ったとき，その円の面積を求めなさい．ただし円周率を$\pi$とする．