円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2 \sqrt{7},\quad \mathrm{BE}=4,\quad \mathrm{DE}=3,\quad \angle \mathrm{DEC}=60^\circ \]
であるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径$R$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
を満たすような実数$s,\ t$の値を求めよ．また，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．

座標平面上に放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2+x+2$と$D$上の点$\mathrm{P}(-2,\ 2)$がある．また，$\mathrm{P}$における$D$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)円$C$は，半径が$r$で中心が$(r,\ 2)$であり，直線$\ell$と接しているとする．$C$と$\ell$との接点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，$\mathrm{A}$を通り$\ell$と垂直に交わる直線の方程式を$a$で表せ．また，その直線が$C$の中心を通ることを用いて$r$を$a$で表せ．
(3)$(2)$の$r$の値を求めよ．
(4)$(2)$の$C$の外側で$D$と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上に，円
\[ \begin{array}{l}
C_1:x^2-12x+y^2-4y+15=0 \\
C_2:x^2-4x+y^2-2y-15=0
\end{array} \]
があり，$C_1$と$C_2$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$および原点を通る円の方程式を求めよ．
(3)原点を中心とし，$C_1$に外接する円の半径を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AC}=5$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる（ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$と一致しない）．また，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}=\mathrm{AC}$の場合，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AD}=t$として，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値は$t$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が条件
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=5,\quad \angle \mathrm{ADC}=60^\circ \]
を満たしている．

(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径を求めよ．

$\theta$は$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．$xyz$空間内の平面$z=0$上に$2$点
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり，$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき，線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする．空間内の$z \geqq 0$の部分において，底面が$D$，$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える．半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$，$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$B$を平面$z=t (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ．
(2)$L$の体積を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

$2$直線$x \cos \theta+y \sin \theta=6$，$x \sin \theta-y \cos \theta=8$の交点を$\mathrm{P}(\theta)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4} \right)$を$\mathrm{A}$とおくと$\mathrm{A}$の座標は$([ア] \sqrt{[イ]},\ [ウ] \sqrt{[エ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}(\theta)$の座標$(x,\ y)$を$\theta$で表すと$x=[オ] \cos \theta+[カ] \sin \theta$，$y=[キ] \sin \theta-[ク] \cos \theta$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，点$\mathrm{P}(\theta)$の軌跡は中心$([ケ],\ [コ])$，半径$[サシ]$の円の一部（円弧）を動き，その円弧の長さは$[ス] \pi$である．
(4)点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3\pi}{4} \right)$を$\mathrm{B}$，点$\mathrm{P}(\theta)$を$\mathrm{P}$とおく．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=[セソタ]([チ]-\sqrt{[ツ]} \sin \theta) \]
である．また，$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，この内積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$([テ],\ [ト])$である．