「半径」について
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国立 岐阜大学 2013年 第2問$xy$平面上に中心$(1,\ 0)$，半径$2$の円$C$がある．円$C$と$y$軸との交点のうち，$y$座標が負である点を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第6問中心を点$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正六角形$H_1$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$上に点$\mathrm{A}_2$を$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_2=15^\circ$を満たすようにとり，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$上に点$\mathrm{B}_2$を$\angle \mathrm{B}_1 \mathrm{OB}_2=15^\circ$を満たすようにとる．同様に，図のように辺$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_1 \mathrm{E}_1$，$\mathrm{E}_1 \mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_1 \mathrm{A}_1$上にそれぞれ点$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{E}_2$，$\mathrm{F}_2$をとり，点$\mathrm{A}_2$から点$\mathrm{F}_2$を頂点とする正六角形を$H_2$とおく． \\
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
国立 長崎大学 2013年 第7問半径$1$の円と長さ$2$の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする．この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く．すなわち，中心が点$(0,\ 1)$，$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く．次に，$x$軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している．$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BDC}=120^\circ$とする．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{10}$である三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．この円の半径は$2$である．この円の，点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{OC}$の共有点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{DB}$と線分$\mathrm{DC}$の長さが$\mathrm{DB}:\mathrm{DC}=3:2$を満たすとき，次の線分の長さを求めよ．
$(1) \quad \mathrm{DC} \qquad (2) \quad \mathrm{AD} \qquad (3) \quad \mathrm{CE}$
$(1) \quad \mathrm{DC} \qquad (2) \quad \mathrm{AD} \qquad (3) \quad \mathrm{CE}$
私立 北海学園大学 2013年 第4問直線$\ell:y=2x+m$は，点$\mathrm{A}(4,\ 2)$を中心とする円$C$に点$\mathrm{P}$で接し，$y$軸と点$\mathrm{Q}$で交わっている．直線$\mathrm{AP}$と円$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$-4<m<4$とする．
(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問直線$\ell:y=2x+m$は，点$\mathrm{A}(4,\ 2)$を中心とする円$C$に点$\mathrm{P}$で接し，$y$軸と点$\mathrm{Q}$で交わっている．直線$\mathrm{AP}$と円$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$-4<m<4$とする．
(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$x^2(x^2+1)-(x-2)(x+1)(x^2-x+2)$を計算して簡単にせよ．
(2)$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{4}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{MC}$の長さと，三角形$\mathrm{AMC}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=5+\sqrt{3}$，$b=5-\sqrt{3}$，$c=3+\sqrt{5}$，$d=3-\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}$の値を求めよ．
(1)$x^2(x^2+1)-(x-2)(x+1)(x^2-x+2)$を計算して簡単にせよ．
(2)$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{4}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{MC}$の長さと，三角形$\mathrm{AMC}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=5+\sqrt{3}$，$b=5-\sqrt{3}$，$c=3+\sqrt{5}$，$d=3-\sqrt{5}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=7k$，$\mathrm{BC}=6k$，$\mathrm{CA}=5k$であり，面積が$24 \sqrt{6}$である．ただし，$k$は正の定数とする．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$に内接する円の半径$r$を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+5x+3=0$の$2$つの解を$\alpha$，$\beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$と$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の方程式$3^{4x}+3^{2x+2}-52=0$を解け．
(3)面積$a$の扇形の弧の長さが$b$であり，$\displaystyle \frac{b}{a}=4$が成り立つとき，この扇形の半径$r$を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2+5x+3=0$の$2$つの解を$\alpha$，$\beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$と$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の方程式$3^{4x}+3^{2x+2}-52=0$を解け．
(3)面積$a$の扇形の弧の長さが$b$であり，$\displaystyle \frac{b}{a}=4$が成り立つとき，この扇形の半径$r$を求めよ．