半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形$\mathrm{PQRS}$について考える．頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は弧$\mathrm{AB}$上に，残りの$2$頂点はそれぞれ辺$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を，$\alpha$と$\theta$の三角比を用いて表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になるときの$\alpha$を$\theta$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値を求めよ．

半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．長方形$\mathrm{PQRS}$は，扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形の中で面積が最大のものである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が弧$\mathrm{AB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とするとき，$\alpha$を$\theta$で表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を$\theta$の三角比を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{PQRS}$が正方形であるときの$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面において，点$(-2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．直線$y=ax+b$を$\ell$とし，この直線$\ell$は，円$C_1$と円$C_2$の両方と共有点をもつものとする．

(1)$b=0$のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$b=0$で$a$が求めた範囲を動くとき，直線$\ell$の通る領域を図示せよ．
(2)$a \geqq 0$のとき，$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，この条件を満たす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

円$x^2+y^2+4x+2 \sqrt{2}y+3=0$について，次の問いに答えよ．

(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点$(x,\ y)$において，$x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．

点$(0,\ a)$を中心とする半径$r$の円$C$と放物線$F:y=x^2$を考える．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)円$C$と放物線$F$が点$(b,\ b^2)$で同じ接線を持つとする．ただし，$b>0$とする．このとき，$C$の中心と点$(b,\ b^2)$を結ぶ直線の傾きを$b$を用いて表せ．また，$r$を$b$を用いて表せ．
(2)(1)において$r=1$とする．このとき，$C$と$F$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$C$と$F$の共有点が原点のみであるための$r$の条件を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の半円$C:x^2+y^2=1 \ (y>0)$上の点を$\mathrm{P}$とする．$a>1$に対して$x$軸上の定点を$\mathrm{A}(a,\ 0)$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$，$\mathrm{OR}=r$とするとき，直線$\mathrm{AQ}$の方程式を$a,\ \theta,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$のえがく曲線の方程式を求めよ．
(3)(2)で得られた曲線の$a=\sqrt{2}$であるときの概形をかけ．

$0<p_1<p_2,\ 1<r_2$とする．中心$\mathrm{O}_1(p_1,\ 0)$，半径$1$の円$C_1$と，中心$\mathrm{O}_2(p_2,\ 0)$，半径$r_2$の円$C_2$は点$\mathrm{T}$で外接している．また円$C_1,\ C_2$はともに放物線$C:x=y^2$に接している．円$C_1$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}_1({q_1}^2,\ q_1)$，円$C_2$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}_2({q_2}^2,\ q_2)$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2,\ r_2$を求めよ．
(2)放物線$C$と弧$\widehat{\mathrm{Q}_1 \mathrm{T}}$および弧$\widehat{\mathrm{Q}_2 \mathrm{T}}$で囲まれた図形を$D$とするとき，$C$，$C_1$，$C_2$の概形をかき，$D$を図示せよ．ただし，ここでいう弧とは，その中心角が$180^\circ$以下のものをいう．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）

$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$において辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_1 \mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$とする．次に，$\triangle \mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$において辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_3$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$とする．これをくり返して，$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$において辺$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{O}_n$，$\mathrm{O}_n \mathrm{A}_n$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_{n+1}$，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{B}_1}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．