下の図において，点$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の外心である．点$\mathrm{D}$は$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{BC}$との交点，点$\mathrm{E}$は円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{AB}$との交点である．また，点$\mathrm{F}$は$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$を通る円$\mathrm{O}_2$と，辺$\mathrm{AC}$の延長との交点である．次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$は同一円周上にあることを証明せよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径を$R_1$，円$\mathrm{O}_2$の半径を$R_2$，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$を通る円の半径を$R_3$とおく．$R_1=R_2=R_3$を証明せよ．

下図は，半径$1$の円を底面とする高さ$1$の円柱を，底面に垂直な平面で切り取ったものである．ここで，線分$\mathrm{OA}$は底面に垂直である．また，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$は点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面上にあり，線分$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BE}$は垂直である．さらに，$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{BE}$の中点であり，$\displaystyle \mathrm{AF}=\frac{3}{2}$である．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{X}$をとり，$\mathrm{OX}=t$とする．$\mathrm{X}$を通り，線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面と線分$\mathrm{EC}$との交点を$\mathrm{G}$とする．
（図は省略）

(1)$\mathrm{BF}$を求めよ．
(2)$\mathrm{XG}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで動くとき，線分$\mathrm{XG}$を線分$\mathrm{OA}$の周りに回転してできる図形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

図のように半径$2$の円$\mathrm{O}$と半径$5$の円$\mathrm{O}^\prime$があり，$\mathrm{OO}^\prime=6$である．円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}$と$\mathrm{O}^\prime$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とし，その延長と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{MS} \cdot \mathrm{MT}$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{ST}$の長さを求めよ．

原点$\mathrm{O}$，半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．また，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}$であるような定数$\alpha$に対し，$\angle \mathrm{POQ}=\alpha$，$\angle \mathrm{QOR}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{POR}=3 \alpha$が成り立っているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{PQRO}$の面積$S$を，$\alpha$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さ$l$を，$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$であるとき，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{OQ}$がなす角$\beta$に対し，$\sin \beta$の値を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)下図のような口の半径が$10 \, \mathrm{cm}$，高さが$30 \, \mathrm{cm}$の口の開いた逆円すい形の容器を，口が水平になるように置き，水を入れた．水面の面積が$36 \pi \, \mathrm{cm}^2$であるとき，水の体積は$[$1$][$2$][$3$] \pi \, \mathrm{cm}^3$であり，容器の内面で水に接していない部分の面積は，水に接している部分の面積の$\displaystyle \frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$倍である．
（図は省略）
(2)次の数列を考える．
\[ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{27},\ \cdots \]
この数列の第$670$項は$\displaystyle \frac{1}{[$7$][$8$][$9$]}$，初項から第$2182$項までの和は
\[ \frac{\kakkofour{$10$}{$11$}{$12$}{$13$}}{[$14$][$15$][$16$]} \]
である．
(3)次の連立方程式を満たす実数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-9x^2+4x+3y^2=0 \\
3xy-5y=0
\end{array} \right. \]

座標平面において$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$K$とする．次の問いに答えよ．

(1)円$K$が直線$y=x-2$と接するときの$a$の値を求めよ．
(2)$t$を変数とする関数を，$\displaystyle F(t)=\int_t^1 \sqrt{1-x^2} \, dx (-1 \leqq t \leqq 1)$とする．$0 \leqq a<1$のとき，円$K$の内部と領域$x \leqq 0$の共通部分の面積を関数$F(t)$を用いて表せ．
(3)領域$D=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq x-2 \}$とする．円$K$の内部と領域$D$との共通部分の面積が最大となるときの$a$の値を求めよ．

$a$を実数の定数とする．$C:x^2+y^2+2ax-4ay+6a^2-1=0$について，以下の問に答えなさい．

(1)$C$が円を表すとき，$a$の取りうる値の範囲は，$[ノ]<a<[ハ]$である．
(2)$C$が半径最大の円となるとき，その中心の座標は，$([ヒ],\ [フ])$である．
(3)$C$が円を表すとき，その中心の軌跡は，
直線$y=[ヘ]x$の$[ホ]<x<[マ]$の部分である．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．

次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．

直線$-3x+y-5=0$を$\ell_1$，直線$x+3y-15=0$を$\ell_2$，直線$-x+2y-5=0$を$\ell_3$とする．また，直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell_2$と直線$\ell_3$の交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell_1$と直線$\ell_3$の交点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AD}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$，点$\mathrm{C}$の座標は$([オカ],\ [キ])$である．
(2)垂線$\mathrm{AD}$の長さは$\sqrt{[ク]}$であり，点$\mathrm{D}$の座標は$([ケ],\ [コ])$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[サ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{[シス]}-\sqrt{[セ]}$である．