「半径」について
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国立 愛知教育大学 2014年 第2問平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$の条件をみたしているとする．
$(ⅰ)$ $\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=10$
$(ⅱ)$ $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．
$(ⅲ)$ $3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．
また，$\angle \mathrm{DAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{BCD}=\beta$とし，線分$\mathrm{BD}$の長さを$d$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$d^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$d^2$を$\beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$がみたす関係式を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$\alpha,\ \beta$と円の半径$R$を求めよ．
$(ⅰ)$ $\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=10$
$(ⅱ)$ $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．
$(ⅲ)$ $3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．
また，$\angle \mathrm{DAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{BCD}=\beta$とし，線分$\mathrm{BD}$の長さを$d$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$d^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$d^2$を$\beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$がみたす関係式を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$\alpha,\ \beta$と円の半径$R$を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第4問$0<r<R$とし，半径$R$の円に半径$r$の小円をいくつか外接させる．ただし，小円どうしは接するか互いに交わらないものとする（図参照）．このときの小円の個数の最大値を$n$としたとき，次の問に答えよ．必要ならば，下の数表（三角関数表）を用いてよい．
（図は省略）
$*$ 三角関数表は省略した．
(1)$R=3r$のとき，$n$を求めよ．
(2)$\displaystyle n \leqq \pi \left( \frac{R}{r}+1 \right)$を示せ．
（図は省略）
$*$ 三角関数表は省略した．
(1)$R=3r$のとき，$n$を求めよ．
(2)$\displaystyle n \leqq \pi \left( \frac{R}{r}+1 \right)$を示せ．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
国立 小樽商科大学 2014年 第4問下図のように半径$1$の円$C_1$の内部に半径$x$の円$C_2$と半径$(1-x)$の円$C_3$が内接している．ただし$0<x<1$とする．円$C_1$の内部で円$C_2$と円$C_3$の外部の部分（図の斜線部分）の面積の最大値を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
国立 高知大学 2014年 第1問$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
国立 高知大学 2014年 第4問$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
国立 山口大学 2014年 第2問図のように，円柱$E$と直円錐$F$が半径$1$の球に内接しており，さらに$E$と$F$の底面は一致している．このとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)円柱$E$の高さを$h$とするとき，円柱$E$の底面の半径と直円錐$F$の高さを，それぞれ$h$を用いて表しなさい．
(2)半径$1$の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい．
(3)円柱$E$の体積と直円錐$F$の体積が等しいとする．円柱$E$から直円錐$F$が重なっている部分をくり抜いたとき，くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい．
（図は省略）
(1)円柱$E$の高さを$h$とするとき，円柱$E$の底面の半径と直円錐$F$の高さを，それぞれ$h$を用いて表しなさい．
(2)半径$1$の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい．
(3)円柱$E$の体積と直円錐$F$の体積が等しいとする．円柱$E$から直円錐$F$が重なっている部分をくり抜いたとき，くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい．
国立 東京海洋大学 2014年 第3問座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ p,\ 0)$，$\mathrm{Q}(q,\ -q,\ 0)$が$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$をみたしている．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第3問次の各問に答えよ．
(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）
(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．
(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）
(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）
(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．
(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）
国立 秋田大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．