「半径」について
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国立 琉球大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \, dx$を求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=2x$，内接円の半径を$r$とおく．
\mon[$①$] $r$を$x$を用いて表せ．
\mon[$②$] $r$が最大となる$x$の値を求めよ（最大値そのものは求める必要はない）．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \, dx$を求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=2x$，内接円の半径を$r$とおく．
\mon[$①$] $r$を$x$を用いて表せ．
\mon[$②$] $r$が最大となる$x$の値を求めよ（最大値そのものは求める必要はない）．
国立 福島大学 2014年 第3問座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-6,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -8)$，$\mathrm{C}(15,\ 28)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．
(6)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．
(6)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．
国立 鳴門教育大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
国立 愛知教育大学 2014年 第6問図のような，底面の半径が$r$，高さが$h$の円錐があり，そこに半径$5$の球が内接しているとする．ただし，$h>10$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)この円錐の底面の半径$r$を$h$を用いて表せ．
(2)この円錐の表面積を最小にする$h$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)この円錐の底面の半径$r$を$h$を用いて表せ．
(2)この円錐の表面積を最小にする$h$の値を求めよ．
国立 奈良女子大学 2014年 第2問$r$を$0<r<2$をみたす実数とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(2-r,\ 2-r)$，$\mathrm{B}(-2+r,\ 2-r)$，$\mathrm{C}(-2+r,\ -2+r)$，$\mathrm{D}(2-r,\ -2+r)$を頂点とする正方形を考える．この正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を動く点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の円を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を一周するとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S$を最大にする$r$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を一周するとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S$を最大にする$r$の値を求めよ．
国立 大阪教育大学 2014年 第3問曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+3}$を$C$とし，座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．
(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
国立 大分大学 2014年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 大分大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 大分大学 2014年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 香川大学 2014年 第3問一辺の長さが$x$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面，点$\mathrm{O}$を頂点とし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$である三角錐$\mathrm{OABC}$に半径$1$の球が内接しているとする．ただし，球が三角錐に内接するとは，球が三角錐のすべての面に接することである．このとき，次の問に答えよ．
(1)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を$x$を用いて表せ．
(2)この体積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(1)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を$x$を用いて表せ．
(2)この体積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．