三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$

(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$

(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$

平面上に$2$つの円があり，それぞれの半径は$7$と$4$である．この$2$つの円の中心間の距離を$d$，共通接線の数を$n$とすると，$d$の値に応じて$n$の値が定まる．ただし，共通接線が存在しない場合は$n=0$とする．以下の問に答えよ．

(1)$d$が任意の値をとるとき，$n$の最大値は$[ヌ]$である．
(2)$d \leqq 11$のとき，$n$の最大値は$[ネ]$である．
(3)$d<[ノ]$のとき，$n=0$である．

$xy$平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$がある．ただし，点$\mathrm{O}$は原点，点$\mathrm{A}$の座標は$(5,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の$y$座標は正であり，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$であるとする．さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の外側に，辺$\mathrm{AB}$を共有する正方形$\mathrm{ABCD}$がある．

(1)$\theta$を用いて表すと，$\mathrm{B}$の座標は$[ア]$であり，$\mathrm{C}$の座標は$[イ]$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\theta=[ウ]$のとき最大値をとり，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\theta=[エ]$のとき最大値をとる．
以下では，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるとする．
(3)$\mathrm{AB}=[オ]$である．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の半径は$[カ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAD}$の外接円の半径を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする．

三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし，その半径を$a$とする．また，円$\mathrm{O}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$，円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，円周率は$\pi$を用いるものとする．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}


(1)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である．
(2)円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき，
\[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \]
を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．
(3)$L=W$が成り立つとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい．

\end{mawarikomi}

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(6,\ 6)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ -2)$，$\mathrm{D}(-6,\ -6)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標は$([ア],\ [イ])$であり，外接円の半径は$[ウ]$である．この円を$C$とする．
(2)円$C$上を動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{D}$に対して，線分$\mathrm{DP}$を$1:2$に内分する点の軌跡は円になる．この円の中心の座標は$([エ],\ [オ])$であり，半径は$[カ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$での円$C$の接線を$\ell_1$とする．接線$\ell_1$の方程式は$y=[キ]x+[ク]$であり，$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{E}$の座標は$([ケ],\ 0)$である．
(4)点$\mathrm{E}$を通り，円$C$に接する直線は$2$本ある．$\ell_1$と異なる接線を$\ell_2$とし，$\ell_2$は点$\mathrm{F}$で円$C$に接するとする．点$\mathrm{F}$の座標は$([コ],\ [サ])$であり，$\ell_2$の方程式は$y=[シ]x+[ス]$である．

底面が直径$D \, \mathrm{mm}$の円であり，高さが$22 \, \mathrm{mm}$の直円柱の容器がある．ただし，底面および側面の厚さは$0 \, \mathrm{mm}$としてよい．この容器に水を満杯に入れ，その上に半径$R=18 \, \mathrm{mm} (2R>D)$の球体を載せたところ，容器の水が溢れだした．その後，球体を取り除くと容器の水位が$5 \, \mathrm{mm}$低くなった．このとき，溢れだした水の体積は$D$を用いて$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}D^2 \pi \, \mathrm{mm}^3$と表すことができ，容器の底面の直径は$D=[ウエ] \sqrt{[オ]} \, \mathrm{mm}$である．

原点を中心とした半径$1$の円に内接する正三角形$T_1$がある．$T_1$の頂点の$1$つが$\mathrm{A}(0,\ 1)$であり，$T_1$の残りの頂点のうち，$x$座標が負の値である方を$\mathrm{B}$とする．また，$T_1$を原点に関して対称移動したものを$T_2$とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$[$1$]$である．
(2)直線$\mathrm{AB}$と$T_2$の辺との交点のうち，$x$座標の値が大きい方の座標は$(x,\ y)=[$2$]$である．
(3)$T_1$と$T_2$が重なる部分の面積は$[$3$]$である．

原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．

(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．

下記に示す三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=4$であり，内側に円が接している．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)内接円の半径$r$の長さを求めよ．

下図のように太陽が雲間から見えた．観察された太陽を半径$r$の円と仮定し，図のように見えた太陽の円周上の$2$点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，円周上に一点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$が互いに直交するようにとる．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{CD}=c$とおくとき，$r$と$a,\ c$の関係を式で表わすと$[$8$]$となる．このとき$r$の最小値を$c$を用いて表わすと，$[$9$]$である．また$c<r$の場合，観察された太陽の中心を$\mathrm{O}$とする．この円を$\mathrm{OD}$を通る直径を軸に回転させてできる球において$\mathrm{AB}$を通り$\mathrm{OD}$に垂直な平面で$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{D}$を含む部分の体積を$a,\ c$を用いて表すと$[$10$]$である．
（図は省略）