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私立 東京理科大学 2015年 第2問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=5$である四角形$\mathrm{ABCD}$があり，この四角形は円$\mathrm{O}$に内接している．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．
私立 早稲田大学 2015年 第2問$2$つの直線$y=kx$と$\displaystyle y=-\frac{1}{k}x$に同時に接する円$\mathrm{O}$の中心の座標を$(a,\ b)$とおく．ただし，$k$は定数で，$0<k<1$とし，$a>0$，$b>0$とする．次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}$を$k$を用いて表せ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径$r$を$a$および$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{3}$とする．円$\mathrm{O}$が点$(p,\ p)$を通るとき，中心の座標$(a,\ b)$を$p$を用いて表せ．ただし，$p$は定数で，$p>0$とする．
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}$を$k$を用いて表せ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径$r$を$a$および$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{3}$とする．円$\mathrm{O}$が点$(p,\ p)$を通るとき，中心の座標$(a,\ b)$を$p$を用いて表せ．ただし，$p$は定数で，$p>0$とする．
私立 上智大学 2015年 第3問$a$を実数とするとき，座標平面において，円$C:x^2+y^2=20$および円$C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．
私立 上智大学 2015年 第3問平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第6問座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．
私立 北星学園大学 2015年 第2問$3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．以下の問に答えよ．
(1)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$を証明せよ．
(3)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$r$を求めよ．
(1)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$を証明せよ．
(3)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$r$を求めよ．
私立 福岡大学 2015年 第3問曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(t,\ e^{-t^2})$，$\mathrm{R}(-t,\ e^{-t^2})$を通る円を$C$とする．円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと，$r(t)=[ ]$である．また，極限$\displaystyle \lim_{t \to 0} r(t)$の値は$[ ]$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．
私立 広島工業大学 2015年 第7問下図のような$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={30}^\circ$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$\sqrt{3}$とする．さらに，弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{PC}$となる点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BPC}$および$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCP}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BPC}$および$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCP}$の面積を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第3問座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=2x^2+2x+\frac{1}{2}$と$\displaystyle C_2:y=-2x^2+2x+\frac{3}{2}$に対して次の問いに答えよ．なお，必要なら \ \tbox{\rule[-0.43em]{0pt}{1.6em}\hspace{0.33em} $1$\hspace{0.57em}} $(1)$の結果を使ってもよい．
(1)$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し，$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ．
(2)$(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても，直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る．$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_1$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(4)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_2$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(5)$(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して，線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ．
(1)$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(t,\ 2t^2+2t+\frac{1}{2})$と$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B}(s,\ -2s^2+2s+\frac{3}{2})$に対し，$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線の傾きと$C_2$の点$\mathrm{B}$における接線の傾きが等しくなるための必要十分条件を$t$と$s$の式で表せ．
(2)$(1)$の条件を満たすようなどんな実数$t,\ s$に対しても，直線$\mathrm{AB}$はある共通の点$\mathrm{M}$を通る．$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_1$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(4)$\mathrm{M}$を$(2)$で求めた点とする．$C_2$とただ一つの共有点をもつような，$\mathrm{M}$を中心とする円に対して，円の半径と共有点の$x$座標を求めよ．
(5)$(1)$の条件を満たすような実数$t,\ s$に対して，線分$\mathrm{AB}$の長さがとり得る値の最小値を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第5問直線
\[ \ell:x \sin \theta+y \cos \theta=1 \quad \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right) \]
に接する$4$つの円を考える．
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_1$である．このとき
\[ r_1=\frac{1}{[ソ]t^2+[タ]t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
残りの$2$つの円は，$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_2$である．このとき
\[ r_2=\frac{1}{[チ]t^2+[ツ]t+[テ]} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
したがって
\[ [ト]<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{[ナ]}+[ニ] \]
である．
\[ \ell:x \sin \theta+y \cos \theta=1 \quad \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right) \]
に接する$4$つの円を考える．
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_1$である．このとき
\[ r_1=\frac{1}{[ソ]t^2+[タ]t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
残りの$2$つの円は，$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_2$である．このとき
\[ r_2=\frac{1}{[チ]t^2+[ツ]t+[テ]} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \]
となる．
したがって
\[ [ト]<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{[ナ]}+[ニ] \]
である．