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千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第2問
座標平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(5,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 11)$,$\mathrm{P}(m,\ 0)$,$\mathrm{Q}(0,\ n)$をとる.ただし,$m$と$n$は$1 \leqq m \leqq 5$,$1 \leqq n \leqq 11$を満たす整数とする.

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数を求めよ.ただし,格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことであり,内部には辺上の点は含まれない.
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の内部に含まれる格子点の個数が三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数の半分になるような組$(m,\ n)$をすべて求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第1問
座標平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(5,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 11)$,$\mathrm{P}(m,\ 0)$,$\mathrm{Q}(0,\ n)$をとる.ただし,$m$と$n$は$1 \leqq m \leqq 5$,$1 \leqq n \leqq 11$を満たす整数とする.

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数を求めよ.ただし,格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことであり,内部には辺上の点は含まれない.
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の内部に含まれる格子点の個数が三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数の半分になるような組$(m,\ n)$をすべて求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2015年 第2問
ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
(図は省略)
(図は省略)
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
京都薬科大学 私立 京都薬科大学 2015年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.

(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は,$x=-1$で最大値をとり,$f(1)=14$を満たす.このとき,$a=[ア]$,$b=[イ]$で,$f(x)$の最大値は$[ウ]$である.
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける.ただし,投げる回数は最大$100$回とする.このとき,ちょうど$n$回($n<100$)投げてやめる確率は$[エ]$で,投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$[オ]$である.また,$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき(最大$100$回),投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$[カ]$である.
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする.このとき,$\mathrm{AB}=[キ]$である.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば,$\mathrm{AC}=[ク]$,$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する.
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である.ただし,$0<\theta<\pi$とする.
(5)ある正の数$a$を底としたときの,$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$,$\log_a 5=1.609$であるとする.また,$\sqrt[4]{10}=1.778$とする.指数関数$y=pa^{-qx}$($p,\ q$は正の数)において,$x=1$のとき$y=10$,$x=5$のとき$y=1$となるならば,$p=[セ]$,$q=[ソ]$である.また,$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である.なお,解答は小数点以下$2$桁で示すこと(必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ).
島根県立大学 公立 島根県立大学 2015年 第2問
$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)$3^{30}$は何桁の整数か.
(2)$3^{30}$の一の位の数字と最高位の数字を求めなさい.
(3)$\mathrm{A}$村では人口減少が続いており,毎年$2 \, \%$ずつ減少している.毎年このままの比率で人口が減少すると仮定した場合,はじめて人口が現在の半分以下になるのは何年後かを答えなさい.
学習院大学 私立 学習院大学 2014年 第2問
スイッチを入れたとき点灯しない確率が$p$である電灯がある.この電灯が,部屋$A$には$2$つ,部屋$B$には$3$つ,部屋$C$には$4$つ設置されていて,どの部屋も,半分以上の電灯が点灯すれば使用でき,半分未満では使用できない.部屋$A,\ B,\ C$が使用できない確率を,それぞれ$p_A,\ p_B,\ p_C$とする.

(1)$p_B$を$p$を用いて表せ.
(2)$p_A>p_C$となる$p$の範囲を求めよ.
札幌医科大学 公立 札幌医科大学 2014年 第2問
表と裏の出る確率が等しい硬貨を$n$回投げる.このとき,表が出る回数が$n$の半分以上である確率を$a_n$とし,表が出る回数が$n$の半分より大きい確率を$b_n$とする.

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$および$b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ求めよ.
(2)$a_n-b_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$a_n$を$n$を用いて表せ.
成城大学 私立 成城大学 2013年 第2問
ある作業をするためにかかる時間は,作業回数に応じて変化し,$n$回目の作業時間$T_n$秒は,以下の式で示される.
\[ T_n=T_1 \cdot n^{-k} \]
ただし,$T_1$は$1$回目の作業時間,$k$は作業の種類によって異なる正の定数である.$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}2=0.3010$として次の問いに答えなさい.

(1)作業$\mathrm{A}$の$1000$回目の作業時間が$150$秒,$2000$回目の作業時間が$50$秒であるときに,$k$の値を四捨五入して小数第$3$位まで求めよ.
(2)作業$\mathrm{B}$の$100$回目の作業時間が$1$回目の作業時間の半分になった.このときの$k$の値を,四捨五入して小数第$3$位まで求めよ.また,作業時間が$100$回目のさらに半分に縮まるのは,何回目の作業か.
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「半分」とは・・・

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