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京都大学 国立 京都大学 2016年 第3問
$n$を$4$以上の自然数とする.数$2,\ 12,\ 1331$がすべて$n$進法で表記されているとして,
\[ 2^{12}=1331 \]
が成り立っている.このとき$n$はいくつか.十進法で答えよ.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第4問
自然数$n$に対して,${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく.$a_n$は$0$から$12$までの整数である.以下の問いに答えよ.

(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ.
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ.
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ.

(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる.
(ii) $N$を十進法で表示して,最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる.
(iii) $N$は$13$で割り切れる.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第4問
自然数$n$に対して,${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく.$a_n$は$0$から$12$までの整数である.以下の問いに答えよ.

(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ.
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ.
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ.

(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる.
(ii) $N$を十進法で表示して,最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる.
(iii) $N$は$13$で割り切れる.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2014年 第2問
$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (*) a=d \text{かつ} b=-c \]
を考える.$(*)$を満たす$M$に対して,実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める.以下の問いに答えなさい.

(1)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば,積$AB$も$(*)$を満たすことを証明しなさい.
(2)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば,$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい.
(3)$A=16 \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい.ただし,本問においては$\log_{10}2=0.301$とする.
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