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京都工芸繊維大学 国立 京都工芸繊維大学 2013年 第1問
一辺の長さが$1$の正十角形$D$が平面上にある.$D$の外接円を$C$とおき,$C$の中心を$\mathrm{O}$,$C$の半径を$R$とおく.$D$の頂点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{10}$は$C$上でこの順に反時計回りに並んでいるとする.点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$から直線$\mathrm{OP}_1$へ下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}_2$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{H}_3$とする.

(1)$\displaystyle R=\frac{1}{2 \sin \theta_1}$を満たす$\theta_1 \ (0^\circ<\theta_1<90^\circ)$を求めよ.
(2)$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2=\sin \theta_2$,$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3=\cos \theta_3$を満たす$\theta_2,\ \theta_3 \ (0^\circ<\theta_2<90^\circ,\ 0^\circ<\theta_3<90^\circ)$を求めよ.
(3)等式$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2+\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3+\mathrm{H}_3 \mathrm{O}=R$を用いて,$\sin 18^\circ$の値を求めよ.
(4)$D$の面積を$S$とするとき,$S^2$の値を求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2012年 第3問
点Oを中心とする半径1の円に内接する正十角形の隣り合う頂点をA,Bとする.また,$\angle \text{OAB}$の二等分線と直線OBの交点をCとする.次の問いに答えよ.

(1)$\triangle$ABCと$\triangle$OABは相似になることを示せ.
(2)辺ABの長さを求めよ.
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$を求めよ.
(4)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ.
京都大学 国立 京都大学 2010年 第4問
点$\mathrm{O}$を中心とする正十角形において,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を隣接する$2$つの頂点とする.線分$\mathrm{OB}$上に$\mathrm{OP}^2=\mathrm{OB}\cdot \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$をとるとき,$\mathrm{OP}=\mathrm{AB}$が成立することを示せ.
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