「十分条件」について
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私立 西南学院大学 2014年 第1問$(1)$～$(5)$の空欄にあてはまる言葉を，次の$1$～$4$から選べ．
\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$
\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$
国立 群馬大学 2013年 第8問$0<x<2$とする．
(1)不等式$(\log_2x)^2+5 \log_2x<-6$を解け．
(2)不等式$\sin x+\cos 2x \geqq 1$を解け．
(3)次の$[ ]$に最も適切なものを$①$～$④$からひとつ選び，その理由を説明せよ．
条件$p,\ q$を，
\[ \begin{array}{lll}
p &:& (\log_2 x)^2+5 \log_2 x<-6 \\
q &:& \sin x+\cos 2x \geqq 1
\end{array} \]
とする．$p$は$q$であるための$[ ]$．
$①$ 必要条件である \quad $②$ 十分条件である \quad $③$ 必要十分条件である \quad $④$ 必要条件でも十分条件でもない
(1)不等式$(\log_2x)^2+5 \log_2x<-6$を解け．
(2)不等式$\sin x+\cos 2x \geqq 1$を解け．
(3)次の$[ ]$に最も適切なものを$①$～$④$からひとつ選び，その理由を説明せよ．
条件$p,\ q$を，
\[ \begin{array}{lll}
p &:& (\log_2 x)^2+5 \log_2 x<-6 \\
q &:& \sin x+\cos 2x \geqq 1
\end{array} \]
とする．$p$は$q$であるための$[ ]$．
$①$ 必要条件である \quad $②$ 十分条件である \quad $③$ 必要十分条件である \quad $④$ 必要条件でも十分条件でもない
公立 鳥取環境大学 2013年 第5問以下の問に答えよ．
(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．
(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[ ]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．
(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[ ]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[ ]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[ ]$．
(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．
\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．
(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．
(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[ ]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．
(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[ ]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[ ]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[ ]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[ ]$．
(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．
\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．
私立 上智大学 2012年 第3問日本全国から$6$つの市を選ぶ．その$6$つの市に関する条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$を考える．
\mon[$(\mathrm{A})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{B})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市がただ$1$つ存在する．
\mon[$(\mathrm{C})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が$2$つ以上存在する．
\mon[$(\mathrm{D})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人以上である．
\mon[$(\mathrm{E})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人未満の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{F})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人未満である．
\mon[$(\mathrm{G})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市と人口$10$万人未満の市が存在する．
(1)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，互いに否定条件となるすべての組を以下の選択肢から選べ．もし互いに否定条件となる組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．
選択肢：
1. (A)と(E) \qquad 2. (A)と(F) \qquad 3. (B)と(C)
4. (B)と(E) \qquad 5. (B)と(F) \qquad 6. (B)と(G)
7. (D)と(E) \qquad 8. (D)と(F) \qquad 9. (D)と(G)
10. (E)と(F) \qquad 11. (E)と(G) \qquad 12. (F)と(G)
(2)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{A})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{A})$以外の条件をすべて選べ．
(3)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{E})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{E})$以外の条件をすべて選べ．
(4)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{B})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{B})$以外の条件をすべて選べ．
(5)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{D})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{D})$以外の条件をすべて選べ．
\mon[$(\mathrm{A})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{B})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市がただ$1$つ存在する．
\mon[$(\mathrm{C})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が$2$つ以上存在する．
\mon[$(\mathrm{D})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人以上である．
\mon[$(\mathrm{E})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人未満の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{F})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人未満である．
\mon[$(\mathrm{G})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市と人口$10$万人未満の市が存在する．
(1)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，互いに否定条件となるすべての組を以下の選択肢から選べ．もし互いに否定条件となる組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．
選択肢：
1. (A)と(E) \qquad 2. (A)と(F) \qquad 3. (B)と(C)
4. (B)と(E) \qquad 5. (B)と(F) \qquad 6. (B)と(G)
7. (D)と(E) \qquad 8. (D)と(F) \qquad 9. (D)と(G)
10. (E)と(F) \qquad 11. (E)と(G) \qquad 12. (F)と(G)
(2)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{A})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{A})$以外の条件をすべて選べ．
(3)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{E})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{E})$以外の条件をすべて選べ．
(4)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{B})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{B})$以外の条件をすべて選べ．
(5)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{D})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{D})$以外の条件をすべて選べ．
私立 大同大学 2012年 第6問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(2)$a,\ b$は実数とする．
$a=[ ]$は，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である．
$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である．
$a=[ ]$または$b=[ ]$であることは，
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である．
(3)$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である．
(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(2)$a,\ b$は実数とする．
$a=[ ]$は，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である．
$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である．
$a=[ ]$または$b=[ ]$であることは，
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である．
(3)$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である．
公立 兵庫県立大学 2012年 第1問次の問に答えなさい．
(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]
(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]
国立 茨城大学 2011年 第2問$a,\ b,\ c$は実数の定数で，$a>0, b \geqq 0$とする．実数$x,\ y$に関する条件$p,\ q,\ r$を次のように定める．
\begin{align}
& p:x^2+y^2 \leqq 1 \nonumber \\
& q:\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( y-\frac{1}{2} \right)^2 \leqq a^2 \nonumber \\
& r:y \leqq \sqrt{b}x+c \nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．
(1)条件$q$が条件$p$であるための十分条件となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$r$が条件$p$であるための必要条件となるとき，$b,\ c$が満たす条件を求め，それを$bc$平面に図示せよ．
\begin{align}
& p:x^2+y^2 \leqq 1 \nonumber \\
& q:\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( y-\frac{1}{2} \right)^2 \leqq a^2 \nonumber \\
& r:y \leqq \sqrt{b}x+c \nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．
(1)条件$q$が条件$p$であるための十分条件となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$r$が条件$p$であるための必要条件となるとき，$b,\ c$が満たす条件を求め，それを$bc$平面に図示せよ．
国立 浜松医科大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2011年 第4問$a,\ b$を実数とするとき，次のことを示せ．
(1)$a,\ b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は，$a+b$，$a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである．
(2)$a+b,\ ab$がともに有理数であることは，$a,\ b$がともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)$a+b,\ ab,\ a^3-b^3$がすべて有理数であれば，$a,\ b$はともに有理数である．
(1)$a,\ b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は，$a+b$，$a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである．
(2)$a+b,\ ab$がともに有理数であることは，$a,\ b$がともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)$a+b,\ ab,\ a^3-b^3$がすべて有理数であれば，$a,\ b$はともに有理数である．
私立 北海道文教大学 2011年 第2問次の$[$1$]$，$[$2$]$に当てはまるものを下の（ア）～（エ）のうちからそれぞれ一つ選びなさい．
(1)$x^2+x-2=0$は$x=-2$であるための$[$1$]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形であることの$[$2$]$である．
（ア） 必要条件であるが，十分条件でない．
（イ） 十分条件であるが，必要条件でない．
（ウ） 必要十分条件である．
（エ） どちらでもない．
(1)$x^2+x-2=0$は$x=-2$であるための$[$1$]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形であることの$[$2$]$である．
（ア） 必要条件であるが，十分条件でない．
（イ） 十分条件であるが，必要条件でない．
（ウ） 必要十分条件である．
（エ） どちらでもない．