$n$枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．

はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．

戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．

最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．

\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．

ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．

最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．

\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．

ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．

確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．

(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする．ただし$m_0,\ c$は正の定数である．また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする．

(i) $m^\prime(x)=[　]$である．
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である．ただし$*$を書き表わす際，新たに必要となる実数があれば$k$を用い，$k$が満たすべき条件も明記せよ．
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[　]$に近づく．

(2)$a,\ b$を正の実数とするとき，積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[　]$である．またこの値を$a$について微分すると，$[　]$となる．

右図のような三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$を考える．
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(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．