確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．

(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$a<b$とする．関数$f(x)$は閉区間$[a,\ b]$で連続，開区間$(a,\ b)$で少なくとも2回まで微分可能で，$f^{\prime\prime}(x) \geqq 0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a<c<b$とする．$y=g(x)$を点$(c,\ f(c))$における$f(x)$の接線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$g(x) \leqq f(x)$を示せ．
(2)$y=h(x)$を，$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$の2点を通る直線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$f(x) \leqq h(x)$を示せ．
(3)$a<c<b$とする．
\[ \frac{1}{2}(b-a) \left( f^\prime(c)(a+b-2c)+2f(c) \right) \leqq \int_a^b f(x) \, dx \leqq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \]
を示せ．
(4)\[ \frac{\pi}{2}e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\cos x} \, dx \leqq \frac{\pi}{4} \left( 1+\frac{1}{e} \right) \]
を示せ．

区間$1 \leqq x \leqq 4$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-x^2},\ g(x)=\sqrt{x \log \frac{4}{x}}$について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 4$において$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．

区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\int_0^{2\pi} (\sin |x-t|) \cos 2t \, dt+\frac{2}{3} \cos x$の最大値，最小値を求めよ．また，最大値を与える$x$の値と最小値を与える$x$の値をすべて求めよ．

座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．

(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2)$c_1$の値を求めよ． \\
以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3)$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4)次の定積分$A,\ B$の値を求めよ．
\[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5)$f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．

(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[　]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[　]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[　]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[　]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[　]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[　]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[　]$である．この楕円の長軸の長さは$[　]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[　]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[　]$となる．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x$として数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{4}{3},\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$は区間$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$で減少することを示せ．

(2)$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq a_n \leqq \frac{4}{3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{9}{25} \right)^{n-1} \leqq |a_n-1| \leqq \frac{1}{3} \left( \frac{9}{16} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$が$x^2-23y^2=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(2)$1<x+\sqrt{23}y<49$のとき，$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)$1$より小なる$x+\sqrt{23}y$が最大になるのは$x=[サ]$，$y=[シ]$のときである．

(4)曲線$y=x^2$，$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める．区間$0 \leqq x \leqq 1$を$n$等分し，$i (1 \leqq i \leqq n)$番目の区間$\displaystyle\frac{(i-1)}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$を底辺とする高さ$\displaystyle \left( \frac{i-\displaystyle\frac{1}{2}}{n} \right)^2$の長方形を考える．これらの長方形の面積の$i$についての総和を$S_n$とする．

(i) $S_n=[ス]$である．
(ii) $\displaystyle |S-S_n| \leq \frac{1}{30000}$となる$n$の最小値は$[セ]$である．

$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．

(1)$S(0)=[ト]$である．
(2)$f(x)$は$x=[ナ]$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$[ナ]$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=[ニ] \ (x>0)$である．
(3)$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$[ヌ]$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=[ネ]$となる．