区間$-\infty<x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^{2x}tf(2x-t) \,dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle F \left( \frac{x}{2} \right)=\int_0^x (x-s)f(s) \,ds$となることを示せ．
(2)$2$次導関数$F^{\prime\prime}$を$f$で表せ．
(3)$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_0^\pi xf(\sin x) \, dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
(2)$a>1$とする．(1)を用いて，積分
\[ \int_0^\pi \frac{x(a^2-4 \cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \, dx \]
を求めよ．

正の整数$n$に対し，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において$\sin 4nx \geqq \sin x$を満たす$x$の区間の長さの総和を$S_n$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)区間$-1<x<1$における
\[ f(x)=\log ((1-x)^{1-x}(1+x)^{1+x}) \]
の最小値を求めよ．ただし，対数は自然対数である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における
\[ g(x)=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{3}\cos 3x \]
の最大値，最小値を求めよ．

$x \geqq 2$とし，区間$-1 \leqq t \leqq 1$における$f(t)=4t^3-x^2t$の最大値を$M(x)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=M(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=M(x)$と$y$軸および$2$直線$\displaystyle y=\frac{8 \sqrt{3}}{9},\ y=10$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=ax^2+bx+c$と$g(x)=|x^2-2x|$がある．曲線$y=f(x)$は$3$点$(1,\ 3)$，$(5,\ -5)$，$(-3,\ -21)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)関数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{1}{2}$のグラフの頂点の座標を求めなさい．
(2)$x$軸と点$(-3,\ 0)$で接し，点$(-2,\ -2)$を通る$2$次関数を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-5$だけ平行移動するとき，$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフになるとする．この定数$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(4)$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=ax^2-4ax+b$は，区間$0 \leqq x \leqq 2$における最大値が$-1$，最小値が$-5$とする．このとき，定数$a,\ b$の値を求めなさい．

次の文中の$[ア]$～$[ニ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2+ax+b$が$2$点$(-2,\ 23)$，$(3,\ -2)$を通るとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$(1)$の放物線と直線$y=-x+3$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$m,\ n$とする．ただし，$m<n$とする．放物線$y=x^2-6x-k^2+4k+5$が$m \leqq x \leqq n$の区間において，常に$y<0$の部分にあるような定数$k$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の区間$-2 \leqq x \leqq 1$での最大値は$x=[　]$のとき$[　]$であり，最小値は$x=[　]$のとき$[　]$である．また，区間$-2 \leqq x \leqq 4$のとき，$f(x)$の最大値から最小値を引いた値は$[　]$である．