2つの関数
\[ f(x)=\sin 3x+\sin x+\cos x,\quad g(x)=\cos 3x \]
について，次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq n\pi$における2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の交点の個数を$r$とする．$r$を$n$の式で表せ．ただし，$n$は正の整数とする．
(2)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において$f(x)<g(x)$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)定積分
\[ I=\int_0^\pi |f(x)-g(x)| \, dx \]
の値を求めよ．

$c$を正の実数とする．関数$f(x)=(x+c)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$y=f(x)$は$x=k$のとき最小値$m$をとる．このとき，$k$と$m$を$c$の式で表せ．
(2)$k$を(1)で求めた値とする．このとき，定積分
\[ T=\int_k^{-c} f(x) \, dx \]
を$c$の式で表せ．
(3)$T$を(2)で求めた値とする．区間$-c \leqq x \leqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸のすべてで囲まれた部分の面積を$S$とする．$\displaystyle S=\frac{e}{2-e}T$となるときの$c$の値を求めよ．

$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．

(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．

次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり，その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする．このとき，定数$k$，平均$E(X)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{1}{2} & (0 \leqq x<1 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{4}x+k & (1 \leqq x \leqq 3 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
(2)$Z$を標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う確率変数とする．また，任意の$x \ (x \geqq 0)$に対して，関数$g(x)$を$g(x)=P( 0 \leqq Z \leqq x)$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 確率$P(a \leqq Z \leqq b)$を関数$g$で表せ．ただし，$a$と$b$は定数で$a<b$とする．
\mon[(b)] 母平均$50$，母標準偏差$3 \sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき，標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ．
\mon[(c)] $0<p<1$とし，$l_p$は$\displaystyle g(l_p)=\frac{p}{2}$をみたすものとする．母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ，標本平均が$45$であった．母平均$m$に対する信頼度$100p \%$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ．

実数$k$は$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq k \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にあるとする．
\[ \begin{array}{ll}
f(x)=\int_{-k}^k \sin (x-t) \cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k) \\
g(x)=\int_{-k}^k |\sin (x-t)|\cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k)
\end{array} \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$と$\displaystyle g \left( -\frac{\pi}{6} \right)$，$2$つの定積分の値をそれぞれ求めよ．
(2)差$f(x)-g(x)$は，区間$-k \leqq x \leqq k$で増加することを示せ．
(3)曲線$y=g(x)$の変曲点は何個あるか，調べよ．

次の問に答えよ．

(1)始発$\mathrm{A}$駅から終着$\mathrm{H}$駅まで両端の駅を含み$8$駅ある観光鉄道を考える．$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅まで，$1$日$3$本の異なるイベント列車が運行される．すべてのイベント列車に，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車して，$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとする．
（図は省略）
(2)$(1)$の場合で，すべての列車に乗車する必要はないとすれば，乗り換えを含めて$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車とする．
(3)$7$駅ある環状鉄道で，$3$本のイベント列車が運行される．乗車するとスタンプが押せる．$3$本のイベント列車に各$1$回ずつ乗車し，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車してスタンプを集める場合，乗車駅$\mathrm{A}$から$1$周して元の乗車駅$\mathrm{A}$で降車する方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとし，乗る順番も区別するものとする．
（図は省略）

以下の$[か]$から$[こ]$にあてはまるものを答えよ．

$a,\ b$を定数とするとき，$3$次の整式$f(x)=x^3+ax^2+bx-4$は，$x-2$で割ると$-2$余り，$2x-1$で割ると$\displaystyle -\frac{7}{8}$余るという．

(1)$a=[か]$，$b=[き]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めると，$[く]$である．
(3)方程式$f(x)=c$が異なる$3$つの実数解を持つような実数$c$の値の範囲は，$[け]$である．
(4)関数$f(x)$の区間$d \leqq x \leqq d+3$における最大値が$0$であるような実数$d$の値の範囲は，$[こ]$である．

関数
\[ f(x)=\sin 3x+2 \cos 2x+4 \sin x \]
の区間$0^\circ \leqq x<360^\circ$における最大値，最小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．

関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次式$x^3+ax^2+bx+c$を$x-1$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$1,\ \cos \theta,\ \sin \theta$であるとき，$a,\ b,\ c$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)において，$\theta$が区間$[0,\ 2\pi]$を動くとき，点$(a,\ b)$が描く曲線を図示せよ．