$a,\ b$を正の定数とし，関数$f(x)=2x^3-3ax^2$と座標平面上の$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x)+b$を考える．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 5$における$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(3)$a=1,\ b=5$として，同一平面上に$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(4)$1$つの直線が$C_1$，$C_2$の両方の接線であるとき，その直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$に，傾き$12$の共通接線があるように$b$の値を定めよ．

$a$を正の実数とし，$t$を$0<t<a$を満たす実数とする．放物線$y=(x-a)^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ (t-a)^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．$C$，$y$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_1$とおき，$C$，$x$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_2$とおく．$t$が区間$0<t<a$の値をとって変化するとき，$R_1+R_2$の最小値とそのときの$t$を$a$で表せ．

次の問に答えよ．

(1)$a,\ m$を定数とする．関数$y=x^3+3x^2+mx+m$が区間$x \leqq a$，$a+2 \leqq x$で増加し，区間$a \leqq x \leqq a+2$で減少するように$a$と$m$の値を定めよ．
(2)不等式$(x^{\log_3 x})^2+x^{5 \log_x3}-84 x^{\log_3x}<0$を解け．

関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x^3}{3} \right) \left( \log_3 \frac{9}{x^3} \right)$について，次の設問に答えよ．

(1)$t=\log_3x$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 9$における$y$の最大値と最小値を求めよ．

$a,\ b$は定数で，$a>1$とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2+b$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値が$3$，最小値が$\displaystyle -\frac{21}{2}$であるとき，$a,\ b$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$A=2x^2-xy-3y^2+3x+8y-5$を因数分解せよ．また，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-2}{2},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-2}$のとき，$A$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle |-\abs{x|+4}=\frac{1}{2}x+1$の解を求めよ．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+2ax+a+b$（$a,\ b$は定数）が区間$-2 \leqq x \leqq 2$において最大値$4$，最小値$1$をとるように$a,\ b$の値を定めよ．

関数$f(x)$が，すべての実数$x$に対して$f(x)=2x^2-14x+\int_0^3 f(x) \, dx$をみたしているとき

(1)$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=[ア]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解$x_1,\ x_2 (x_1<x_2)$の値は，$x_1=[イ]$，$x_2=[ウ]$である．
(3)$a$を$a \geqq 0$をみたす実数とし，区間$a \leqq x \leqq a+1$における$f(x)$の最小値と最大値を，$a$の関数として，それぞれ，$m(a)$，$M(a)$とする．このとき$m(a)$が一定値となる$a$の区間は$[エ] \leqq a \leqq [オ]$であり，この区間で$m(a)=[カ]$である．また，$M(a) \leqq 6$をみたす$a$の区間は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．

記号$(0,\ \infty)$は，正の実数全体からなる区間を表すものとする．$1$より大きい実数$r$と，区間$(0,\ \infty)$で連続な関数$f(x)$に対する，定積分
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx \quad \text{と} \quad \int_1^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \]
について考える．

(1)$r$を$1$より大きい実数とする．

(i) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．
(ii) 定積分$\displaystyle \int_1^{r^2} \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$と$\displaystyle \int_1^{r^3} \left( x+\frac{r^6}{x} \right)^2 \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．

(2)次の問いに答えよ．

(i) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=a \int_1^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \]
が成立するような，定数$a$の値を求めよ．
(ii) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^3} f \left( x^3+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx=b \int_{r^3}^{r^6} f \left( t+\frac{r^6}{t} \right) \frac{1}{t} \, dt \]
が成立するような，定数$b$の値を求めよ．
(iii) $1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\ \infty)$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式
\[ \int_1^{r^2} f \left( x^3+\frac{r^6}{x^3} \right) \frac{1}{x} \, dx=c \int_{1}^{r^3} f \left( x+\frac{r^6}{x} \right) \frac{1}{x} \, dx \]
が成立するような，定数$c$の値を求めよ．

放物線$y=ax^2-6x+7$と直線$y=bx+c$が$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ d)$で交わっている．$a,\ b,\ c,\ d$を定数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)この放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$1 \leqq x \leqq 4$の区間において放物線上を動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．