次の各問に答えよ．

(1)$6$枚のカード$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$4$}$が入った袋から，同時に$4$枚のカードを取り出す．ただし，同じ数字が書かれたカードは区別しないものとする．

(i) 取り出し方は何通りあるか．
(ii) 取り出したカードを並べて$4$桁の整数を作るとき，$3300$より大きい整数はいくつできるか．

(2)次の各問に答えよ．

(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos \theta+\sin \theta$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(ii) $x \geqq 0$，$y \geqq 0$とする．$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$x^2+2xy-y^2$の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人をいくつかの組に分ける．ただし，組同士は区別せず，どの組も$1$人以上を含んでいるとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{A}$が$3$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(3)$5$人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい．

$4$人乗りと$5$人乗りの自動車があります．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，これら$2$台の自動車に分乗してドライブに行きます．ただし，座席は区別しないものとし，運転できる人が$2$人以上乗る場合，誰が運転するかは区別しないものとします．次の場合，分乗する方法はそれぞれ何通りあるか答えなさい．

(1)$6$人全員が自動車を運転できる．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人のみが自動車を運転できる．

赤，青，黄色$3$色のカードがそれぞれ$5$枚ずつあり，各色のカードに$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$15$枚のカードから無作為に$3$枚を同時に取り出すとき，以下の各問いに答えよ．

(1)取り出し方の総数を求めよ．ただし，カードの色も数字も区別する．
(2)$3$枚とも同じ数字となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードのうち，青いカードが$1$枚だけとなる確率を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．

青いボールが$2$個，黄色いボールが$2$個，赤いボールが$3$個ある．これら$7$個のボールから$4$個を取り出すとき，以下の問に答えよ．ただし，ボールは，色の違いの他には区別がないものとする．

(1)$4$個を取り出す組合せは全部で$[ハ]$通りである．
(2)取り出した$4$個のボールを$2$個ずつに分けるとき，分け方は全部で$[ヒフ]$通りである．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$という箱がある．取り出した$4$個のボールをこれらの箱に$2$個ずつ入れるとき，入れ方は全部で$[ヘホ]$通りである．

次の問いに答えよ．

(1)$3x^2+6x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．

(i) $\displaystyle \alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\frac{[ア]}{[イ]}$である．

(ii) $\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

(iii) $\alpha^3+\beta^3=[カキク]$である．

(2)平面上の$3$点$(-1,\ 9)$，$(0,\ 3)$，$(2,\ 3)$を通る放物線の方程式は$y=[ケ]x^2-[コ]x+[サ]$である．
(3)$\displaystyle f(x)=(\log_3 27x)(\log_3 \frac{x}{3})=(\log_3 x)^2+[シ] \log_3 x-[ス]$である．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[セ]}{[ソ]}$で最小値$[タチ]$をとる．
(4)$7$個の小石を$3$人の子供$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に配る．このとき，$1$個ももらえない子供はいないとする．また，小石は互いに区別されないものとする．

(i) 小石の配り方は$[ツテ]$通りである．
(ii) 子供$\mathrm{A}$にちょうど$3$個の小石が配られる確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．

$9$頭の犬と飼育係$4$人がいる．ただし，$9$頭の犬と$4$人の飼育係はそれぞれ区別する．各グループには犬が$3$頭ずつ，飼育係は少なくとも$1$人いるようにふり分ける．これら$3$グループへのふり分け方は何通りあるか．

正20角形$P$について，次の問いに答えよ．

(1)正20角形$P$の対角線は何本ひけるか．
(2)正20角形$P$の頂点から3つを選び，これらを頂点とする三角形をつくるとき，$P$と辺を共有しない三角形はいくつあるか．ただし，合同な三角形は区別せずに1つと数えることにする．

次の問に答えよ．

(1)始発$\mathrm{A}$駅から終着$\mathrm{H}$駅まで両端の駅を含み$8$駅ある観光鉄道を考える．$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅まで，$1$日$3$本の異なるイベント列車が運行される．すべてのイベント列車に，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車して，$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとする．
（図は省略）
(2)$(1)$の場合で，すべての列車に乗車する必要はないとすれば，乗り換えを含めて$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車とする．
(3)$7$駅ある環状鉄道で，$3$本のイベント列車が運行される．乗車するとスタンプが押せる．$3$本のイベント列車に各$1$回ずつ乗車し，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車してスタンプを集める場合，乗車駅$\mathrm{A}$から$1$周して元の乗車駅$\mathrm{A}$で降車する方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとし，乗る順番も区別するものとする．
（図は省略）