初項が$4$，公差が$8$の等差数列を，初項から順に，$2n$個の項が第$n$群に含まれるように分けていく．

$4,\ 12 \ | \ 20,\ 28,\ 36,\ 44 \ | \ 52,\ 60,\ 68,\ 76,\ 84,\ 92 \ | \ \cdots$
{\small 第$1$群} \qquad {\small 第$2$群} \qquad\qquad\qquad {\small 第$3$群}

たとえば，$60$はこの数列の第$3$群の小さい方から$2$番目の項である．ただし，縦線$|$は群の区切りを表し，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．

(1)第$n$群の最初の項と最後の項を，それぞれ$n$を用いて表せ．
(2)第$n$群の項の総和$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \frac{S_n}{n} \leqq 2012$を満たす最大の$n$を求めよ．
(3)$2012$は第何群の小さい方から何番目の項であるか答えよ．

$1,\ 2,\ 3$の$3$種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を$(S)$とする：
\[ (S):\qquad 1,\ 2,\ 3,\ 11,\ 12,\ 13,\ 21,\ 22,\ 23,\ 31,\ \cdots \]
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを$(T)$とする：
\[ (T):\qquad 12311121321222331 \cdots \]
次の各問に答えよ．

(1)$(S)$において，$12$は$5$番目の整数である．$312$は何番目の整数になるか求めよ．
(2)$(S)$において，$2010$番目の整数を求めよ．
(3)$(T)$において，初めて$2$が$3$個連続して並ぶ部分の最初の$2$は$12$番目の数字である．初めて$1$が$2n+1$個連続して並ぶ部分の最初の$1$は何番目の数字になるか求めよ．ただし，$n$は自然数とする．