$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う．$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり，そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを，$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている．

$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．

(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．

$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．

$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．

$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．

$4$人で$1$回じゃんけんをする．

(1)$1$人が勝ち，$3$人が負ける確率を求めよ．
(2)勝負がつかない確率を求めよ．

$X,\ Y$は$\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$の空でない部分集合で，$X \cap Y$は空集合とする．また，$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君が以下のルールで対戦する．

(i) $1$回目の対戦では，まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて，出た目が$X$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする．出た目が$X$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて，出た目が$Y$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする．
(ii) $1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は，$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い，どちらかが勝つまで続ける．ただし，$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする．

以下の問いに答えよ．

(1)さいころを投げたとき，$X,\ Y$に属する目が出る確率をそれぞれ$p,\ q$とする．$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が勝つ確率が，$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(X,\ Y)$は何通りあるか．