「勝者」について
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国立 広島大学 2010年 第4問$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
国立 広島大学 2010年 第4問$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
(4)$P_n(1) \geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ．
(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
(4)$P_n(1) \geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ．