$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．

次のようなゲームを行い，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人の中から$1$人の勝者を決める．赤玉$3$個，白玉$5$個，黒玉$7$個が入った袋から$4$個の玉を同時に取り出し，最も多く取り出された玉が赤玉ならば$\mathrm{A}$，白玉ならば$\mathrm{B}$，黒玉ならば$\mathrm{C}$の勝ちとする．ただし，赤玉と白玉が$2$個ずつ，あるいは赤玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{A}$の勝ち，白玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{B}$の勝ちとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2)このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3)このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．

$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．

$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$9$個のボールを持っていて，次のようなゲームを行う．まずどちらかが硬貨を投げ，表であれば$\mathrm{A}$の勝ち，裏であれば$\mathrm{B}$の勝ちとする．勝者は$0$から$3$までの数が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，書かれている数だけ敗者からボールを受け取る．ただし，取り出したカードはもとに戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．

$n$人でじゃんけんを$1$回する．ただし，どの人もグー，チョキ，パーを出す確率は等しくそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$とする．また，「あいこ」とはじゃんけんで勝者が$1$人もいない状態のこととする．このとき次の問に答えよ．

(1)$n=3$のとき，「あいこ」となる確率を求めよ．
(2)$n=4$のとき，勝者が$1$人である確率および勝者が$2$人である確率をそれぞれ求めよ．
(3)$n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots$のとき「あいこ」となる確率を$n$を用いて表せ．

ある競技の大会に，チーム$1$，チーム$2$，チーム$3$，チーム$4$が参加している．大会は予選と決勝戦からなる．まず，抽選によって，図のように$2$チームずつに分かれて予選を行う．次に，各予選の勝者が決勝戦を行う．過去の対戦成績から次のことが分かっている．

チーム$i$とチーム$j$（$1\leq i< j \leq 4$）が試合をするとき，確率$p$でチーム$j$が勝利し，確率$1-p$でチーム$i$が勝利する．ただし$0<p<1$である．

このとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)チーム$1$が優勝する確率を求めよ．
(2)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ．
(3)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき，チーム$2$が優勝する確率を求めよ．
(4)この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ．
(5)$f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ．
（図は省略）

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．

(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．

(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．

(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．

以下の問で，各人はじゃんけんでグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$3$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$3$人でじゃんけんをする．負けた人がいれば，じゃんけんから抜け，$1$人の勝者が決まるか，じゃんけんの回数が$3$回になるまで繰り返す．じゃんけんの回数が$2$回以内で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$，ちょうど$3$回で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(3)$4$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$，$2$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．